2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式

第章　不等式、推理与证明

第一节　不等式的性质与一元二次不等式

[考纲传真]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bc；

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；

(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；

(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔>.

3．“三个二次”的关系

1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；

若b＞a＞0，m＞0，则＞.

2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．

3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.

4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.  (　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0. (　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.               (　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.                              (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．(教材改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)

A．A≥B　　　　　 B．A＞B

C．A≤B   D．A＜B

B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)

＝x2－6x＋9－x2＋6x－8

＝1＞0，

∴A＞B，故选B．]

3．(教材改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A.＞   B．＜

C.＞   D．＜

B　[∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，

∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，

∴－＞－，即＜.故选B．]

4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)

(－4,1)　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．]

5．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.

－14　[由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

则

解得

(经检验知满足题意)．

∴a＋b＝－14.]

比较大小及不等式性质的应用

1．设α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B．

C.   D．

D　[∵α∈，β∈[0，π]，

∴2α∈，∈，

即－＜2α＜π，

－≤－≤0.

∴－＜2α－＜π，故选D．]

2．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A．ab＞ac   B．c(b－a)＜0

C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＞0

A　[∵c＜b＜a，且ac＜0，

∴c＜0，a＞0，

∴ac＜ab，

即A选项正确．]

3．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．

[6,10]　[法一：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，

即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，

所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．

法二：(运用方程思想)由得

所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，

即f(－2)的取值范围是[6,10]．]

一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；

(2)x2－(a＋1)x＋a<0.

[解]　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，

即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，

当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．

[母题探究]　将本例(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．

[解]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，

解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；

②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；

③当0<a<1时，>1，解 (x－1)<0得1<x<.

综上所述：当a<0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为.

(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

A．{x|2<x<3}

B．{x|x≤2或x≥3}

C.

D．

(2)不等式≥－1的解集为________．

(1)B　(2)　　[(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，

∴解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.

(2)将原不等式移项通分得≥0，

等价于解得x≤或x＞5.

∴原不等式的解集为.]

一元二次不等式恒成立问题

►考法1　在R上恒成立，求参数的范围

【例2】　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

(－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，

当a≠2时，则有

即∴－2<a<2.

综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]

►考法2　在指定区间上恒成立，求参数的范围

【例3】　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，

所以m<，所以0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述：m的取值范围是.

法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

所以m的取值范围是.

►考法3　变换主元，求x的范围

【例4】　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．

{x|x<1或x>3}　[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．

只需g(－1)>0且g(1)>0，即

解得x<1或x>3.]

(1)若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是________．

(2)求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围．

(1)　[设f(x)＝x2＋ax－2，由题知Δ＝a2＋8＞0，

所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，

于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈.]

(2)[解]　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.

令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，

因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以

(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，舍去．

(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x＜2或x＞4.

综上可知，使原不等式恒成立的x的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．

1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)

A.　　　　　　 B．

C.   D．

D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．

∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝.

∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.

故选D．]

2.(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)

A．[2,3]   B．(－∞，2]∪[3，＋∞)

C．[3，＋∞)   D．(0,2]∪[3，＋∞)

D　[由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故选D．]