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2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第九章平面解析几何第1节
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第1节 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)倾斜角的范围：[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan_θ.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
[常用结论与微点提醒]
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.
3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
解析 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.
答案 B
3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距
－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
答案 C
4.(教材习题改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.
解析 由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，
∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，
整理得12x－y－18＝0.
答案 12x－y－18＝0
5.( 教材习题改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.
解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－]∪[1，＋∞).
答案 (1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
解 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.
解 由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，
即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.
即直线l倾斜角的范围是∪.
规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，当α取值在，即由0增大到时，k由0增大到＋∞，当α取值在时，即由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0.
2.斜率的两种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.
【训练1】 (2018·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，π) B.∪
C. D.∪
解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.
答案 B
考点二 直线方程的求法
【例2】 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4).
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3，4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
【训练2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，
∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(4，1)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考点三 直线方程的综合应用
【例3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.
2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
解 法一 设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△ABO＝ab≥12，
当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，
且有A，B(0，2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.直线x＝的倾斜角等于( )
A.0 B. C. D.π
解析 由直线x＝，知倾斜角为.
答案 C
2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1
3.(2018·葫芦岛模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A.1±或0 B.或0
C. D.或0
解析 由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
答案 A
4.过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，
∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.
答案 A
5.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.
答案 B
6.(2018·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.－ C.－ D.
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
答案 B
7.(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.
答案 B
8.(2018·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x＋ D.y＝－x＋2
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
答案 A
二、填空题
9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案 x＋13y＋5＝0
10.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).
则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，
设直线l的斜率为k.
又kOA＝2，kOB＝.
如图所示，可知≤k≤2.
∴直线l的斜率的取值范围是.
答案
11.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
解析 若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
12.设直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________.
解析 直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得
所以直线l恒过定点(2，－2).
答案 (2，－2)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A.4x－3y－3＝0 B.3x－4y－3＝0
C.3x－4y－4＝0 D.4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案 D
14.(2018·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
解析 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案 A
15.(2018·呼和浩特模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________.
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
答案 4
16.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________.
解析 直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1，1)，
∴H(1，0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案 x＋y－－1＝0
第1节 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)倾斜角的范围：[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan_θ.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
[常用结论与微点提醒]
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.
3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
解析 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.
答案 B
3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距
－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
答案 C
4.(教材习题改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.
解析 由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，
∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，
整理得12x－y－18＝0.
答案 12x－y－18＝0
5.( 教材习题改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.
解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－]∪[1，＋∞).
答案 (1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
解 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.
解 由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，
即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.
即直线l倾斜角的范围是∪.
规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，当α取值在，即由0增大到时，k由0增大到＋∞，当α取值在时，即由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0.
2.斜率的两种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.
【训练1】 (2018·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，π) B.∪
C. D.∪
解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.
答案 B
考点二 直线方程的求法
【例2】 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4).
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3，4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
【训练2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，
∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(4，1)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考点三 直线方程的综合应用
【例3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.
2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
解 法一 设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△ABO＝ab≥12，
当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，
且有A，B(0，2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.直线x＝的倾斜角等于( )
A.0 B. C. D.π
解析 由直线x＝，知倾斜角为.
答案 C
2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1
3.(2018·葫芦岛模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A.1±或0 B.或0
C. D.或0
解析 由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
答案 A
4.过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，
∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.
答案 A
5.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.
答案 B
6.(2018·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.－ C.－ D.
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
答案 B
7.(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.
答案 B
8.(2018·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x＋ D.y＝－x＋2
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
答案 A
二、填空题
9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案 x＋13y＋5＝0
10.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).
则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，
设直线l的斜率为k.
又kOA＝2，kOB＝.
如图所示，可知≤k≤2.
∴直线l的斜率的取值范围是.
答案
11.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
解析 若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
12.设直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________.
解析 直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得
所以直线l恒过定点(2，－2).
答案 (2，－2)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A.4x－3y－3＝0 B.3x－4y－3＝0
C.3x－4y－4＝0 D.4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案 D
14.(2018·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
解析 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案 A
15.(2018·呼和浩特模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________.
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
答案 4
16.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________.
解析 直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1，1)，
∴H(1，0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案 x＋y－－1＝0
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