2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第九章平面解析几何第6节

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第6节　双曲线
最新考纲　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a (2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图　形

性　质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[常用结论与微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A.(－1，3) B.(－1，) C.(0，3) D.(0，)
解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得
－m2 答案　A
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A. B. C. D.
解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
答案　D
4.(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析　由题意知＝e2＝3，则m＝2.
答案　2
5.(教材习题改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
解析　设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为－＝1.
答案　－＝1

考点一　双曲线的定义及其应用
【例1】 (1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)
A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3
(2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析　(1)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案　(1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)
规律方法　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A. B. C. D.
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________.
解析　(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.
由得|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
(2)由题意知|PF1|＝9 答案　(1)C　(2)17
考点二　双曲线的标准方程的求法
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(一题多解)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________.
解析　(1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)法一　椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
根据定义知2a＝|－
|＝4，
故a＝2.又b2＝32－a2＝5，
故所求双曲线的方程为－＝1.
法二　椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.
法三　设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，
由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，
解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).
故所求双曲线方程为－＝1.
答案　(1)B　(2)－＝1
规律方法　求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
【训练2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以＝，由双曲线的一个焦点为F(2，0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝，即b2＝3，所以a2＝1，故双曲线的方程为x2－＝1.
(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)，
∴可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).
∵渐近线方程为y＝±x，
其中一条渐近线的倾斜角为30°，
∴＝，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为－＝1.
答案　(1)D　(2)B
考点三　双曲线的性质
【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析　(1)如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N均为圆A上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝|AM|·
cos 30°＝b，即＝b，解得a2＝3b2，∴e＝＝＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程：消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝p，
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴p＝p，即＝⇒＝.

∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
答案　(1)　(2)y＝±x
规律方法　1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A.(，＋∞) B.(，2)
C.(1，) D.(1，2)
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　(1)由题意e2＝＝＝1＋，因为a>1，所以1<1＋<2，则1 (2)因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＜0，即3y－1＜0，解得－＜y0＜.
答案　(1)C　(2)A

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·德州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
解析　因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案　B
2.(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　由e＝知a＝b，且c＝a.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
又kPF＝＝＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝＝8.
故双曲线方程为－＝1.
答案　B
3.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A.2 B. C. D.
解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，
又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
答案　A
4.(2018·成都诊断)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B.2
C.6 D.4
解析　由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案　D
5.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
解析　由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
答案　C
二、填空题
6.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析　由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y＝±x，结合题意可得：a＝5.
答案　5
7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，
△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为________.

解析　根据题意画出草图如图所示
.
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，
c＝|OF|＝2.
又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝.
又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
答案　x2－＝1
8.(2018·梅州质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
解析　由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝a，所以e＝＝.
答案　
三、解答题
9.(2018·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解　∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明　法一　由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10.设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标.
解　(1)由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2.
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·湖北四地七校联考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　根据题意知直线l的方程为y＝x＋b，即bx－cy＋bc＝0，因为点F2到直线l的距离等于实半轴的长，所以＝a，即4c2(c2－a2)＝a2(－a2＋2c2)，
∴4e4－6e2＋1＝0，解得e2＝，
∴e＝或e＝－(舍去).
答案　D
12.(2018·呼和浩特模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________.
解析　由题可知A1(－1，0)，F2(2，0).
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
答案　－2
13.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.