2019版高考数学（理）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第九章平面解析几何第7节

第7节　抛物线
最新考纲　1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形




标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝
－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝
－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)
解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2＝2x B.y2＝－2x C.y2＝4x D.y2＝－4x
解析　由准线x＝1知，抛物线方程为：
y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝－4x.
答案　D
3.(2018·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为(　　)
A.5 B.－3或5
C.－2或6 D.6
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5，故选B.
答案　B
4.(选修2－1P73A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.
解析　很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.
当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，
解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；
当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.
答案　y2＝－8x或x2＝－y
5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析　设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案　[－1，1]

考点一　抛物线的定义及应用
【例1】 (1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.


解析　(1)因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.
如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，即线段AB的中点D到y轴的距离为－＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).
答案　(1)C　(2)(2，2)
规律方法　应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析　(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案　(1)y2＝4x　(2)6
考点二　抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A.x2＝y B.x2＝y
C.x2＝8y D.x2＝16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　(1)∵－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝
±x，即y＝±x.由题意得＝2，解得p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
故C的焦点到准线的距离为4.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.
(1)解析　设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故＝＝，即p＝，从而抛物线的方程为y2＝3x.
(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标为y＝2，所以A(2，2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B，
所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝.
答案　(1)y2＝3x　(2)

考点三　直线与抛物线的位置关系(多维探究)
命题角度1　直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解　(1)如图，由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.
命题角度2　与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3－2】 (2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
(1)解　把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明　当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).
由消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
考虑Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1).
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0.
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点.
规律方法　1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
解析　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝
－(x－1).
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16.
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号.
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
答案　A

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·太原月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a等于(　　)
A.1 B. C.2 D.
解析　因为抛物线的标准方程为x2＝y，
所以其焦点坐标为，
则有＝1，解得a＝.
答案　D
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B.1
C. D.2
解析　由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2.
答案　D
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
答案　B
4.(2018·莆田质检)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析　如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，
∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
答案　C
5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)
A.12 B.24
C.16 D.32
解析　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y＋y≥32.
∴y＋y的最小值为32.
答案　D
二、填空题
6.(2018·广东省际名校联考)圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心是抛物线y2＝px(p<0)的焦点，则p＝________.
解析　由题意知圆心为(－1，0)，则＝－1，解得p＝－4.
答案　－4
7.(2018·黄山模拟)已知抛物线C：y2＝8x，焦点为F，点P(0，4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为________.
解析　F(2，0)，设A在抛物线准线上的投影为A′，
由抛物线的定义知，|AA′|＝|AF|，
则点A到点P(0，4)的距离与A到该抛物线准线的距离之和d＝|AP|＋|AF|≥|PF|＝2，当F，A，P三点共线时d取得最小值，
此时直线AB的斜率为－2，方程为y＝－2(x－2)，即x＝－＋2，
代入抛物线C：y2＝8x，可得y2＋4y－16＝0，
解得y＝－2－2或－2＋2.
∴△AOB的面积为×2×|(－2－2)－(－2＋2)|＝4.
答案　4
8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.

解析　建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
答案　2
三、解答题
9.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
解　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.



能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由抛物线C1：y＝x2(p>0)得x2＝2py(p>0)，
所以抛物线的焦点坐标为.
由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2.
所以双曲线的右焦点为(2，0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为＝.即px＋4y－2p＝0.①
设M(x0>0)，则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知＝，解得x0＝p，
所以M，
把M点的坐标代入①得＋p－2p＝0.
解得p＝.
答案　D
12.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
解析　如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.

答案　－1
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，
所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝
(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.