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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第6章1第1讲 数列的概念与简单表示法
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知识点
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数列的概念和
简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
了解数列是自变量为正整数的一类函数.
等差数列
理解等差数列的概念.
掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
了解等差数列与一次函数的关系.
等比数列
理解等比数列的概念.
掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.
了解等比数列与指数函数的关系.
第1讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项与序号n之间的关系式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法
3. an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关
系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1
an＋1＝an
按其他
标准分类
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．( )
(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )
(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
在数列{an}中 ，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝.
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
若数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)
解析：法一：令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．
法二：因为an＋1－an＝－＝＞0，
所以an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．
答案：递增
数列1，，，，，…的一个通项公式an＝________．
解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为.
答案：
由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)
an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对an与Sn关系的考查主要有以下两个命题角度：
(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；
(2)利用an与Sn的关系求Sn.
[典例引领]
角度一 利用an与Sn的关系求通项公式an
已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________．
【解析】 因为an，Sn，a成等差数列，
所以2Sn＝an＋a，
当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a，
又a1>0，所以a1＝1，
当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
所以(a－a)－(an＋an－1)＝0，
所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又an＋an－1>0，n≥2，
所以an－an－1＝1，n≥2，
所以{an}是等差数列，其公差为1，
因为a1＝1，
所以an＝n(n∈N*)．
【答案】 n
角度二 利用an与Sn的关系求Sn
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
【解析】 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
【答案】 －
(1)已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1.
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
[通关练习]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
答案：
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．
解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，
即＝(n≥2)，
又a2＝，所以an＝×(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×＝，
所以an＝
所以Sn＝2an＋1＝2××＝.
法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，
所以Sn＋1＝Sn，
所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，
所以Sn＝.
答案：
3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.
解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，
当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，
当n≥2时，
nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，
因此an＝，
显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
由递推关系求数列的通项公式
[典例引领]
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
所以该数列的通项公式为an＝n.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.
若本例(3)条件an＋1＝3an＋2变为an＋1＝3an＋3n＋1，求an.
解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1，
所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．
所以＝＋(n－1)＝n－，
所以an＝n·3n－2·3n－1.
由数列递推式求通项公式的常用方法
[通关练习]
1．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b2 017＝________．
解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝
an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，因为b1＝0，所以bn＝，所以b2 017＝.
答案：
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．
解析：由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.
答案：2
数列的性质(高频考点)
数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：
(1)数列的单调性；
(2)数列的周期性；
(3)数列的最值．
[典例引领]
角度一 数列的单调性
已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 {an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
【答案】 (－3，＋∞)
角度二 数列的周期性
设数列{an}满足：an＋1＝，a2 018＝3，那么a1＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 设a1＝x，由an＋1＝，
得a2＝，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝x＝a1，
所以数列{an}是周期为4的周期数列．
所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝＝3.
解得x＝.
【答案】 B
角度三 数列的最值
已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．
【解】 因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.
当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.
(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想
思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期（n＋T）－n＝T.
思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝（n＋T）－n.
（2）判断数列的单调性的两种方法
[通关练习]
1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为( )
A．21 B．10
C. D.
解析：选C.由已知条件可知，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)
＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．
所以＝n＋－1.
令f(n)＝＝n＋－1，则f(n)在[1，5]上为减函数，
在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，
则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝－(n≥2且n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018＝________．
解析：因为a1＝2，a2＝－，a3＝－，a4＝2，所以数列{an}是周期为3的数列，所以S2 018＝672×＋2－＝.
答案：
数学文化与数列问题
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3.
【答案】 B
解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．
[通关练习]
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
解析：选D.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得
2．(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是( )
A．19 B．18
C．17 D．16
解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{an}，其中a1＝5，S30＝＝390，a1＋a30＝26，a30＝26－a1＝21，a30－a1＝16.
数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
数列的单调性的判断
(1)作差比较法．an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法．当an>0时，则>1⇔数列{an}是递增数列；<1⇔数列{an}是递减数列；＝
1⇔数列{an}是常数列．当an<0时，则>1⇔数列{an}是递减数列；<1⇔数列{an}是递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．
易错防范
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是( )
A．16 B．24 C．26 D．28
解析：选C.因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.
3．(2018·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.升 B.升
C.升 D.升
解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.
4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为( )
A．0 B．4
C. D.
解析：选A.因为an＝－3＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.
5．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2
＝2＝，选A.
6．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
故当n≥2时，an＝，
所以an＝
答案：an＝
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝________．
解析：因为a1＝1，
所以a2＝(a1－1)2＝0，
a3＝(a2－1)2＝1，
a4＝(a3－1)2＝0，…，
可知数列{an}是以2为周期的周期数列，
所以a2 018＝a2＝0.
答案：0
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.
因为a1也适合此等式，
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
10．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
所以bn＝
(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，
所以数列{cn}为递减数列．
1．(2018·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 017＝( )
A．2 016 B．2 017
C．4 032 D．4 034
解析：选B.由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.则a2 017＝2 017.故选B.
2．(2018·湖北六校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A．λ< B．λ<1
C．λ< D．λ<
解析：选A.因为数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，
所以an>0，＝＋1，则＋1＝2，
所以数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，
所以＋1＝2n.
所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n(n∈N*)，
所以bn＝(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，
因为数列{bn}是单调递增数列，
所以bn＋1>bn，
所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，
可得λ<(n≥2)，所以λ<，
又当n＝1时，b2>b1，
所以(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，
综上，λ的取值范围是λ<，故选A.
3．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．
解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
4．(2018·成都市第二次诊断性检测)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列的前n项和Tn＝________．
解析：由题意知＝＝，所以an＝a1×××…×＝1×
××…×＝
＝
＝，所以＝＝2，所以数列的前n项和Tn＝2(－＋－＋…＋－＋－)＝2＝.
答案：
5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；
(2)求n为何值时，an最小．
解：(1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.
当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)
＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]
＝－14＋2×－6(n－1)
＝n2－7n－8，
当n＝1时，上式也成立．
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.
(2)由(1)可知
an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，
当n<8时，an＋1
当n＝8时，a9＝a8，
当n>8时，an＋1>an，即a9
6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，
an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
知识点
考纲下载
数列的概念和
简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
了解数列是自变量为正整数的一类函数.
等差数列
理解等差数列的概念.
掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
了解等差数列与一次函数的关系.
等比数列
理解等比数列的概念.
掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.
了解等比数列与指数函数的关系.
第1讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项与序号n之间的关系式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法
3. an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关
系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1
an＋1＝an
按其他
标准分类
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．( )
(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )
(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
在数列{an}中 ，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝.
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
若数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)
解析：法一：令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．
法二：因为an＋1－an＝－＝＞0，
所以an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．
答案：递增
数列1，，，，，…的一个通项公式an＝________．
解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为.
答案：
由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)
an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对an与Sn关系的考查主要有以下两个命题角度：
(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；
(2)利用an与Sn的关系求Sn.
[典例引领]
角度一 利用an与Sn的关系求通项公式an
已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________．
【解析】 因为an，Sn，a成等差数列，
所以2Sn＝an＋a，
当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a，
又a1>0，所以a1＝1，
当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
所以(a－a)－(an＋an－1)＝0，
所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又an＋an－1>0，n≥2，
所以an－an－1＝1，n≥2，
所以{an}是等差数列，其公差为1，
因为a1＝1，
所以an＝n(n∈N*)．
【答案】 n
角度二 利用an与Sn的关系求Sn
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
【解析】 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
【答案】 －
(1)已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1.
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
[通关练习]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
答案：
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．
解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，
即＝(n≥2)，
又a2＝，所以an＝×(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×＝，
所以an＝
所以Sn＝2an＋1＝2××＝.
法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，
所以Sn＋1＝Sn，
所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，
所以Sn＝.
答案：
3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.
解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，
当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，
当n≥2时，
nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，
因此an＝，
显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
由递推关系求数列的通项公式
[典例引领]
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
所以该数列的通项公式为an＝n.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.
若本例(3)条件an＋1＝3an＋2变为an＋1＝3an＋3n＋1，求an.
解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1，
所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．
所以＝＋(n－1)＝n－，
所以an＝n·3n－2·3n－1.
由数列递推式求通项公式的常用方法
[通关练习]
1．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b2 017＝________．
解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝
an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，因为b1＝0，所以bn＝，所以b2 017＝.
答案：
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．
解析：由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.
答案：2
数列的性质(高频考点)
数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：
(1)数列的单调性；
(2)数列的周期性；
(3)数列的最值．
[典例引领]
角度一 数列的单调性
已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 {an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
【答案】 (－3，＋∞)
角度二 数列的周期性
设数列{an}满足：an＋1＝，a2 018＝3，那么a1＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 设a1＝x，由an＋1＝，
得a2＝，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝x＝a1，
所以数列{an}是周期为4的周期数列．
所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝＝3.
解得x＝.
【答案】 B
角度三 数列的最值
已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．
【解】 因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.
当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.
(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想
思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期（n＋T）－n＝T.
思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝（n＋T）－n.
（2）判断数列的单调性的两种方法
[通关练习]
1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为( )
A．21 B．10
C. D.
解析：选C.由已知条件可知，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)
＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．
所以＝n＋－1.
令f(n)＝＝n＋－1，则f(n)在[1，5]上为减函数，
在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，
则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝－(n≥2且n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018＝________．
解析：因为a1＝2，a2＝－，a3＝－，a4＝2，所以数列{an}是周期为3的数列，所以S2 018＝672×＋2－＝.
答案：
数学文化与数列问题
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3.
【答案】 B
解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．
[通关练习]
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
解析：选D.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得
2．(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是( )
A．19 B．18
C．17 D．16
解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{an}，其中a1＝5，S30＝＝390，a1＋a30＝26，a30＝26－a1＝21，a30－a1＝16.
数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
数列的单调性的判断
(1)作差比较法．an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法．当an>0时，则>1⇔数列{an}是递增数列；<1⇔数列{an}是递减数列；＝
1⇔数列{an}是常数列．当an<0时，则>1⇔数列{an}是递减数列；<1⇔数列{an}是递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．
易错防范
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是( )
A．16 B．24 C．26 D．28
解析：选C.因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.
3．(2018·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.升 B.升
C.升 D.升
解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.
4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为( )
A．0 B．4
C. D.
解析：选A.因为an＝－3＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.
5．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2
＝2＝，选A.
6．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
故当n≥2时，an＝，
所以an＝
答案：an＝
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝________．
解析：因为a1＝1，
所以a2＝(a1－1)2＝0，
a3＝(a2－1)2＝1，
a4＝(a3－1)2＝0，…，
可知数列{an}是以2为周期的周期数列，
所以a2 018＝a2＝0.
答案：0
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.
因为a1也适合此等式，
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
10．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
所以bn＝
(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，
所以数列{cn}为递减数列．
1．(2018·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 017＝( )
A．2 016 B．2 017
C．4 032 D．4 034
解析：选B.由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.则a2 017＝2 017.故选B.
2．(2018·湖北六校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A．λ< B．λ<1
C．λ< D．λ<
解析：选A.因为数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，
所以an>0，＝＋1，则＋1＝2，
所以数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，
所以＋1＝2n.
所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n(n∈N*)，
所以bn＝(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，
因为数列{bn}是单调递增数列，
所以bn＋1>bn，
所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，
可得λ<(n≥2)，所以λ<，
又当n＝1时，b2>b1，
所以(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，
综上，λ的取值范围是λ<，故选A.
3．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．
解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
4．(2018·成都市第二次诊断性检测)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列的前n项和Tn＝________．
解析：由题意知＝＝，所以an＝a1×××…×＝1×
××…×＝
＝
＝，所以＝＝2，所以数列的前n项和Tn＝2(－＋－＋…＋－＋－)＝2＝.
答案：
5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；
(2)求n为何值时，an最小．
解：(1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.
当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)
＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]
＝－14＋2×－6(n－1)
＝n2－7n－8，
当n＝1时，上式也成立．
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.
(2)由(1)可知
an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，
当n<8时，an＋1
当n＝8时，a9＝a8，
当n>8时，an＋1>an，即a9
6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，
an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
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