2019版高考数学(理)一轮精选教师用书人教通用:第6章3第3讲 等比数列及其前n项和
展开1.等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(q≠0,n∈N*).
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔G2=ab.
“a,G,b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:Sn=
3.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和(m,n,p,q,r,k∈N*)
(1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a;
(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列;
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
4.等比数列的单调性
当q>1,a1>0或0 当q>1,a1<0或0
0时,{an}是递减数列;
当q=1时,{an}是常数列.
5.等比数列与指数函数的关系
当q≠1时,an=·qn,可以看成函数y=cqx,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(3)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(5)等比数列中不存在数值为0的项.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=( )
A.- B.-2
C.2 D.
解析:选D.由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=②,由②÷①得q3=,解得q=.故选D.
已知数列{an}满足an=an+1,若a3+a4=2,则a4+a5=( )
A. B.1
C.4 D.8
解析:选C.法一:因为an=an+1得=2,所以{an}为等比数列,其公比为2,又a3+a4=2得a1=,则a4+a5=a1q3+a1q4=4.
法二:已知an=an+1,可得an+1=2an,所以a4+a5=2a3+2a4=2(a3+a4)=2×2=4.
设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项和为________.
解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由a5=a1q4=16,a1=1,得16=q4,解得q=2,
所以S7===127.
答案:127
(2017·高考北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a4=-1+3d=8,解得d=3;b4=-1·q3=8,解得q=-2.所以a2=-1+3=2,b2=-1×(-2)=2,所以=1.
答案:1
等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度为中、低档题.高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度:
(1)求首项a1、公比q或项数n;
(2)求通项或特定项;
(3)求前n项和.
[典例引领]
角度一 求首项a1、公比q或项数n
(2018·武汉市武昌区调研考试)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=( )
A.-2 B.-1
C. D.
【解析】 由S2=3a2+2,S4=3a4+2得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍)或q=,将q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1.
【答案】 B
角度二 求通项或特定项
(方程思想)(2018·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则an=________.
【解析】 由已知得:
解得a2=2.
设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=,a3=2q.
又S3=7,可知+2+2q=7,
即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2=.
由题意得q>1,所以q=2,
所以a1=1.
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
【答案】 2n-1
角度三 求前n项和
(2016·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
【解】 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,
通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则
Sn==-.
解决等比数列有关问题的三种常见思想方法
(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类讨论.
(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.
[通关练习]
1.设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=4,Sk=63,则k=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:选C.设等比数列{an}的公比为q,由已知a1=1,a3=4,得q2==4.又{an}的各项均为正数,
所以q=2.而Sk==63,
所以2k-1=63,
解得k=6.
2.(2017·高考江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.
解析:设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.
答案:32
3.(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得(舍去),
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5,q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
等比数列的判定与证明
[典例引领]
已知数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=n,cn=an-1.
(1)求证:数列{cn}是等比数列;
(2)求Sn.
【解】 (1)证明:由an+Sn=n,① 得
a1+S1=1,即2a1=1,解得a1=.
又an+1+Sn+1=n+1,②
由②-①得an+1-an+(Sn+1-Sn)=1,
即2an+1-an=1,③
因为cn=an-1,所以an=cn+1,an+1=cn+1+1,代入③式,得2(cn+1+1)-(cn+1)=1,整理得2cn+1=cn,
故=(常数).
所以数列{cn}是一个首项c1=a1-1=-1=-,公比为的等比数列.
(2)由(1)知,cn=-·=-,
所以an=cn+1=-+1,
所以Sn=+n=+n-1.
等比数列的判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均为不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
[通关练习]
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选A.法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-.
法二:因为等比数列的前n项和Sn=k×qn-k,则a=-,a=-.
2.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),设bn=an+1-2an.
(1)求证:{bn}是等比数列;
(2)设cn=,求证:{cn}是等比数列.
证明:(1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.
==
==2.
因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.
所以b1=a2-2a1=3.
所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
所以-=3.
所以数列是等差数列,公差为3,首项为2.
所以=2+(n-1)×3=3n-1.
所以an=(3n-1)·2n-2,所以cn=2n-2.
所以==2.
所以数列{cn}为等比数列.
等比数列的性质(高频考点)
等比数列的性质是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,其难度为中等.高考对等比数列的性质的考查常有以下两个命题角度:
(1)等比数列项的性质的应用;
(2)等比数列前n项和的性质的应用.
[典例引领]
角度一 等比数列项的性质的应用
(1)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为( )
A.2 B.4
C.-2或2 D.-4或4
(2)(2018·武汉华师附中调研)数列{an}的通项公式为an=2n-1,则使不等式a+a+…+a<5×2n+1成立的n的最大值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】 (1)因为a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,
所以a3a15=8,a3+a15=6,
易知a3,a15均为正,由等比数列的性质知,a1a17=a=a3a15=8,
所以a9=2,=2,故选A.
(2)因为an=2n-1,a=4n-1,
所以a+a+…+a==(4n-1).
因为a+a+…+a<5×2n+1,
所以(4n-1)<5×2n+1,
所以2n(2n-30)<1,对n进行赋值,可知n的最大值为4.
【答案】 (1)A (2)C
角度二 等比数列前n项和的性质的应用
等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.5
【解析】 法一:因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)·(a9+a11),故a9+a11===2.
同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,
所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),
故a13+a15===1.
所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
法二:在等比数列{an}中,
得q4==,
所以a9+a11+a13+a15=q8(a1+a3+a5+a7)=(8+4)=3.
【答案】 C
等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类:
(1)通项公式的变形;
(2)等比中项的变形;
(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
[通关练习]
1.已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.-9
解析:选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.
2.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )
A. B.-
C. D.
解析:选A.因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.所以a7+a8+a9=.
3.在等比数列{an}中,公比q=2,前87项的和S87=140,则a3+a6+a9+…+a87=( )
A.20 B.56
C.80 D.136
解析:选C.法一:a3+a6+a9+…+a87=a3(1+q3+q6+…+q84)=a1q2=·=×140=80.故选C.
法二:设b1=a1+a4+a7+…+a85,b2=a2+a5+a8+…+a86,b3=a3+a6+a9+…+a87,因为b1q=b2,b2q=b3,且b1+b2+b3=140,所以b1(1+q+q2)=140,又1+q+q2=7,所以b1=20,b3=q2b1=4×20=80.故选C.
等比数列的单调性
当或时,{an}是递增数列;
当或时,{an}是递减数列;
当q=1时,{an}为常数列;
当q<0时,{an}为摆动数列.
与等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为q.
①若共有2n项,则S偶∶S奇=q;
②若共有2n+1项,则S奇-S偶=(q≠1且q≠-1).
(2)分段求和:Sn+m=Sn+qnSm⇔qn=(q为公比).
易错防范
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0,但q可为正数,也可为负数.
(2)由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
1.(2018·成都市第二次诊断性检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5=( )
A.12 B.18
C.24 D.36
解析:选B.a3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=78⇒1+q2+q4=13⇒q2=3,所以a5=a3q2=6×3=18.故选B.
2.(2018·银川一中模拟)在等比数列{an}中,若a1=,a4=3,则该数列前5项的积为( )
A.±3 B.3
C.±1 D.1
解析:选D.因为a4=3,所以3=×q3(q为公比),得q=3,所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=
=1,故选D.
3.(2018·云南省11校跨区调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( )
A.40 B.60
C.32 D.50
解析:选B.由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,选B.
4.(2018·莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2 017=( )
A.92 016 B.272 016
C.92 017 D.272 017
解析:选D.由已知条件知数列{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以an=3n,bn=3n.
又cn=ban=33n,
所以c2 017=33×2 017=272 017.
5.(2018·江南十校联考)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,Tn是{an}的前n项之积,a2=27,a3a6a9=,则当Tn最大时,n的值为( )
A.5或6 B.6
C.5 D.4或5
解析:选D.数列{an}是各项均为正数的等比数列,因为a3a6a9=,所以a=,所以a6=.因为a2=27,所以q4===,所以q=.所以an=a2qn-2=27×=.令an==1,解得n=5,则当Tn最大时,n的值为4或5.
6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=________.
解析:设等比数列{an}的公比为q,则
②÷①,得q7=128,即q=2,把q=2代入①,得a1=,
所以数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=×2n-1=3×2n-3.
答案:3×2n-3
7.设数列{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q=________.
解析:当q≠1时,=3a1q2,解得q=1(舍去)或-.当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3也成立.
答案:1或-
8.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________.
解析:因为+=,+=,由等比数列的性质知a7a10=a8a9,所以+++==÷=-.
答案:-
9.已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解:(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3…+(2n-1)===n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).
10.(2017·高考北京卷)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.
解得d=2.所以an=2n-1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.
所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.
1.(2018·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且对任意n∈N*都有++…+<t,则实数t的取值范围为( )
A.(,+∞) B.[,+∞)
C.(,+∞) D.[,+∞)
解析:选D.依题意得,当n≥2时,an===2 n2-(n-1)2=22n-1,又a1=21=22×1-1,因此an=22n-1,=,数列{}是以为首项,为公比的等比数列,等比数列{}的前n项和等于=(1-)<,因此实数t的取值范围是[,+∞),选D.
2.(2018·安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天脚步轻快有力,走了一段路程,第二天脚痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完这段路程.则下列说法错误的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的
D.此人后三天共走了四十二里路
解析:选C.记每天走的路程里数为an(n=1,2,3,…,6),
由题意知{an}是公比为的等比数列,
由S6=378,得=378,
解得a1=192,所以a2=192×=96,
此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-(378-192)=6(里),
a3=192×=48,>,
前3天走的路程为192+96+48=336(里),
则后3天走的路程为378-336=42(里),故选C.
3.已知直线ln:y=x-与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An,Bn,n∈N*,数列{an}满足:a1=1,an+1=|AnBn|2,则数列{an}的通项公式为________.
解析:圆Cn的圆心到直线ln的距离dn==,半径rn=,故an+1=|AnBn|2=r-d=2an,故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故an=2n-1(n∈N*).
答案:an=2n-1(n∈N*)
4.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n都有am+n=am·an,若Sn 解析:因为am+n=am·an,令m=1得an+1=a1·an,即=a1=,所以{an}为等比数列,所以an=,所以Sn==<,所以a≥.故a的最小值为.
答案:
5.(2018·成都市第一次诊断性检测)已知数列{an}满足a1=-2,an+1=2an+4.
(1)证明数列{an+4}是等比数列;
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解:(1)证明:因为a1=-2,所以a1+4=2.
因为an+1=2an+4,
所以an+1+4=2an+8=2(an+4),
所以=2,
所以{an+4}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1),可知an+4=2n,所以an=2n-4.
当n=1时,a1=-2<0,所以S1=|a1|=2;
当n≥2时,an≥0.
所以Sn=-a1+a2+…+an=2+(22-4)+…+(2n-4)=2+22+…+2n-4(n-1)=-4(n-1)=2n+1-4n+2.
又当n=1时,上式也满足.
所以当n∈N*时,Sn=2n+1-4n+2.
6.(2018·湖北黄冈调研)数列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).
(1)证明:数列是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,若数列{bn}的前n项和是Tn,求证:Tn<2.
解:(1)由题设得=·,
又=2,
所以数列是首项为2,公比为的等比数列,
所以=2×=22-n,an=n·22-n=.
(2)证明:bn===,
因为对任意n∈N*,2n-1≥2n-1,
所以bn≤.
所以Tn≤1++++…+=2<2.