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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章1第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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知识点
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直线的方程
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
两直线的位置关系
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
圆的方程
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
直线、圆的位置关系
能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
椭 圆
了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
双曲线
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
抛物线
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
条件
公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°
k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2
k＝
3.直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
续 表
名称
已知条件
方程
适用范围
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1
(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选D.由点斜式得直线方程为
y－(－3)＝tan 45°(x－2)＝x－2，
即x－y－5＝0，故选D.
如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.
经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝________．
解析：tan ＝＝＝y＋2，
因此y＋2＝－1，y＝－3.
答案：－3
(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．
解析：由题意可设方程为x＋y＝a，
所以a＝－4＋3＝－1.
所以直线方程为x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0
直线的倾斜角与斜率
[典例引领]
(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是( )
A．[－， ]
B.∪
C.∪
D．以上都不对
【解析】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0.
要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.故选C.
【答案】 (1)B (2)C
若本例(1)中直线变为x＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为________．
解析：当cos θ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－.
因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，
所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，所以α∈∪，
综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是.
答案：
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
[通关练习]
1．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
2．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
因为y′＝3x2－1≥－1，
所以tan θ≥－1，
所以θ为钝角时，应有θ∈；
θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是∪.
答案：∪
求直线的方程
[典例引领]
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)(待定系数法)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.
【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0＜α＜π)，
从而cos α＝±，
则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，
所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4，1)，所以＋＝1，
所以a＝5，
所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，
解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
(1)求直线方程的两种常用方法
①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．
(2)求直线方程应注意的问题
①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
[通关练习]
1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B.因为B(3，1)，C(1，3)，
所以kBC＝＝－1，
故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，
又高线经过点A，
所以其直线方程为x－y＋2＝0.
2．过点M(－1，－2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为________．
解析：由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A，B(0，k－2)．因为AB的中点为M，所以解得k＝－2.所以所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.
答案：2x＋y＋4＝0
直线方程的综合应用(高频考点)
直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．高考中对直线方程的综合应用考查主要有以下两个命题角度：
(1)与基本不等式相结合求最值问题；
(2)由直线方程解决参数问题．
[典例引领]
角度一 与基本不等式相结合求最值问题
直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
【解】 依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－
＝5＋≥5＋4＝9.
所以当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.
角度二 由直线方程解决参数问题
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
【解】 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，
当a＝时，面积最小．
直线方程综合问题的两大类型及其解法
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[通关练习]
1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.
答案：
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k
0
k＞0
不存在
k＜0
求直线方程的一般方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，具体步骤为：
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
易错防范
(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.
1．(2018·大连模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，
所以直线l在y轴上的截距为2，
所以直线l的方程为y＝x＋2.
3．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.
4．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.
则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，
在y轴上的截距＞1.故选C.
5．(2018·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
6．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．
解析：设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
答案：3x＋4y＋15＝0
7．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，
当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
8．一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．
解析：设所求直线的方程为＋＝1，
因为A(－2，2)在直线上，所以－＋＝1.①
又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
所以|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
9．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
解：(1)根据直线l的方程：＋＝1可得直线l过点(m，0)，(0，4－m)，所以k＝＝2，解得m＝－4.
(2)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则由m>0，4－m>0得0
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
1．(2018·湖南岳阳模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为( )
A. B.
C．1 D．9
解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.
2．直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．
解析：设直线l的倾斜角为θ.所以tan 2θ＝－.
＝－，所以tan θ＝2或tan θ＝－，
由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．
所以tan θ＝2.
又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.
所以tan θ＝－.即＝－＝－.
答案：－
3．(2018·山东临沂检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：不论m为何实数，直线l过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
解：(1)证明：直线l的方程整理得(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，由解得
所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2)．
(2)过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
则直线l1过点(－2，0)，(0，－4)，
设直线l1的方程为y＝kx＋b，
把两点坐标代入得解得
则直线l1的方程为y＝－2x－4，即2x＋y＋4＝0.
4.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m.
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．
知识点
考纲下载
直线的方程
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
两直线的位置关系
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
圆的方程
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
直线、圆的位置关系
能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
椭 圆
了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
双曲线
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
抛物线
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
条件
公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°
k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2
k＝
3.直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
续 表
名称
已知条件
方程
适用范围
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1
(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选D.由点斜式得直线方程为
y－(－3)＝tan 45°(x－2)＝x－2，
即x－y－5＝0，故选D.
如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.
经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝________．
解析：tan ＝＝＝y＋2，
因此y＋2＝－1，y＝－3.
答案：－3
(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．
解析：由题意可设方程为x＋y＝a，
所以a＝－4＋3＝－1.
所以直线方程为x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0
直线的倾斜角与斜率
[典例引领]
(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是( )
A．[－， ]
B.∪
C.∪
D．以上都不对
【解析】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0.
要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.故选C.
【答案】 (1)B (2)C
若本例(1)中直线变为x＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为________．
解析：当cos θ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－.
因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，
所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，所以α∈∪，
综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是.
答案：
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
[通关练习]
1．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
2．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
因为y′＝3x2－1≥－1，
所以tan θ≥－1，
所以θ为钝角时，应有θ∈；
θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是∪.
答案：∪
求直线的方程
[典例引领]
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)(待定系数法)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.
【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0＜α＜π)，
从而cos α＝±，
则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，
所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4，1)，所以＋＝1，
所以a＝5，
所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，
解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
(1)求直线方程的两种常用方法
①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．
(2)求直线方程应注意的问题
①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
[通关练习]
1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B.因为B(3，1)，C(1，3)，
所以kBC＝＝－1，
故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，
又高线经过点A，
所以其直线方程为x－y＋2＝0.
2．过点M(－1，－2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为________．
解析：由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A，B(0，k－2)．因为AB的中点为M，所以解得k＝－2.所以所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.
答案：2x＋y＋4＝0
直线方程的综合应用(高频考点)
直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．高考中对直线方程的综合应用考查主要有以下两个命题角度：
(1)与基本不等式相结合求最值问题；
(2)由直线方程解决参数问题．
[典例引领]
角度一 与基本不等式相结合求最值问题
直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
【解】 依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－
＝5＋≥5＋4＝9.
所以当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.
角度二 由直线方程解决参数问题
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
【解】 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，
当a＝时，面积最小．
直线方程综合问题的两大类型及其解法
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[通关练习]
1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.
答案：
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k
0
k＞0
不存在
k＜0
求直线方程的一般方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，具体步骤为：
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
易错防范
(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.
1．(2018·大连模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，
所以直线l在y轴上的截距为2，
所以直线l的方程为y＝x＋2.
3．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.
4．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.
则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，
在y轴上的截距＞1.故选C.
5．(2018·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
6．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．
解析：设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
答案：3x＋4y＋15＝0
7．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，
当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
8．一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．
解析：设所求直线的方程为＋＝1，
因为A(－2，2)在直线上，所以－＋＝1.①
又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
所以|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
9．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
解：(1)根据直线l的方程：＋＝1可得直线l过点(m，0)，(0，4－m)，所以k＝＝2，解得m＝－4.
(2)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则由m>0，4－m>0得0
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
1．(2018·湖南岳阳模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为( )
A. B.
C．1 D．9
解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.
2．直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．
解析：设直线l的倾斜角为θ.所以tan 2θ＝－.
＝－，所以tan θ＝2或tan θ＝－，
由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．
所以tan θ＝2.
又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.
所以tan θ＝－.即＝－＝－.
答案：－
3．(2018·山东临沂检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：不论m为何实数，直线l过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
解：(1)证明：直线l的方程整理得(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，由解得
所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2)．
(2)过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
则直线l1过点(－2，0)，(0，－4)，
设直线l1的方程为y＝kx＋b，
把两点坐标代入得解得
则直线l1的方程为y＝－2x－4，即2x＋y＋4＝0.
4.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m.
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．
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