2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第5章1第1讲　平面向量的概念及线性运算





知识点
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平面向量的实际
背景及基本概念
了解向量的实际背景.
理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
理解向量的几何表示.
向量的线性运算
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
了解向量线性运算的性质及其几何意义.
平面向量的基本
定理及坐标表示
了解平面向量的基本定理及其意义.
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量的数量
积及向量的应用
理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
第1讲　平面向量的概念及线性运算


1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)　
续　表

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
[说明]　三点共线的等价关系
A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(　　)
(2)＋＋＝.(　　)
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若a，b都是单位向量，则a＝b；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
解析：选A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
(教材习题改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)

A. a＋b　　　　　　　 B. a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：选D.＝＝(b－a)＝－a＋b，故选D.
已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.
答案：


　　　　　　平面向量的有关概念
[典例引领]
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
其中真命题的序号是________．
【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】　③

平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．

　　　　　　平面向量的线性运算(高频考点)
平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度：
(1)用已知向量表示未知向量；
(2)求参数的值．
[典例引领]
角度一　用已知向量表示未知向量
如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于(　　)

A.－
B.＋
C.＋
D.－
【解析】　在△CEF中，有＝＋.
因为点E为DC的中点，所以＝.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以＝.
所以＝＋＝＋
＝－，故选D.
【答案】　D
角度二　求参数的值
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

【解析】　因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，
所以＝＝(＋)
＝
＝＋，
又＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
【答案】　

向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．　
[通关练习]
1．化简－＋－得(　　)
A. B.
C. D．0
解析：选D.因为－＋－＝＋＋＋＝0.
2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－ B．－＋2
C .－ D．－＋
解析：选A.因为2＋＝0，所以A为BC的中点，所以2＝＋，所以＝2－.

3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，
又＋＋＝0，
所以＝＋＝2，
所以＝－2，
与＝λ比较，得λ＝－2.
答案：－2

　　　　　　平面向量共线定理的应用
[典例引领]
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.
所以k＝±1.

若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，
所以所以k＝±1.
又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．

　
[通关练习]
1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是(　　)
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，
因为a，b共线⇔b＝a⇔b＝e1－e2⇔λ＝－.
2．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．
解析：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ，得＋＝3.
答案：3

求解向量共线问题的五个策略
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．
(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
易错防范
(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．
(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．下列各式中不能化简为的是(　　)
A. ＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C. －＋
D. ＋－
解析：选D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；
(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；
－＋＝＋＝；
＋－＝－，
显然由－得不出，
所以不能化简为的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|a
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)
A.＝－　　　　 B.＝－
C.＝－ D.＝－
解析：选A.＝＋＝－＝－－＝－，选A.
4．(2018·山东临沂模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以∥.设＝m(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.
5．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D.依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3＜||＜13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3，13]
7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝
－a－b.
答案：b－a　－a－b
8．(2018·豫西五校联考)若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．
解析：由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，则＝＝＝，从而＝，又＝λ＋μ＝＋＝＋，所以λ＝.

答案：
9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解：＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.
10．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得，
＝－＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，＝－＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，
故＝－2，
又与有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)＝＋＝3a－2b，＝2a－kb.
因为A、C、D三点共线，所以＝λ，即3a－2b＝2λa－kλb，
所以所以
综上，k的值为.

1．(2018·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.
3．给出下列四个命题：
①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；
②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；
③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；
④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．
其中为真命题的有________(填上序号)．
解析：由向量的平行四边形法则知道，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量．所以①是真命题；若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题．
答案：①②③
4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，
所以＝2.
因为点E在线段CD上，
所以＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
答案：
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.

(1)用a，b表示；
(2)证明A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
证明：充分性：若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
所以－＝m(－)，
即＝m，
所以与共线．
又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．
必要性：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
所以－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
因为O，A，B不共线，所以，不共线，
所以所以m＋n＝1.
所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.