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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能判断直线与圆的位置关系.
2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要)
dr⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
概念方法微思考
1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.
2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
题组二 教材改编
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1，3]
C.[－3，1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
答案 B
解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2
答案 2
解析 由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
题组三 易错自纠
5.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A.[－，] B.[－2，2]
C.[－－1，－1] D.[－2－1，2－1]
答案 D
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，
解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
6.过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________.
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2，
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，
∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
答案 D
解析 因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，由勾股定理得，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.
命题点3 切线问题
例3 (2020·湖北部分重点中学联考)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，2)
C.(2，) D.(2，0)
答案 C
解析 如图所示.
设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，
则|OP|＝，
又xP＝2，则P(2，).
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________.
答案 x－y－2＝0
解析 设P(3，1)，圆心C(2，2)，
则|PC|＝，半径r＝2，
由题意知最短弦过P(3，1)且与PC垂直，kPC＝－1，
所以所求直线方程为y－1＝x－3，即x－y－2＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练1 (1)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则r的取值范围是 ( )
A.01
答案 D
解析 圆心到直线的距离d＝＝1，故r>1.
(2)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
答案 B
解析 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝，由r2＝d2＋2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
(3)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2
解析 根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
∵kAB＝2，∴kAC＝－，
∴直线AC的方程为y＋1＝－(x＋2)，
令x＝0，得y＝－2，
∴圆心C(0，－2)，∴m＝－2.
∴r＝|AC|＝＝.
(4)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________.
答案
解析 方法一 圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，
圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设直线l上任意一点P(x，y)，
则由x＋y＝1，得y＝1－x.
则|PC|＝＝＝.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.
故|PQ|2＝|PC|2－r2＝(2x2－2x＋13)－1＝2x2－2x＋12＝22＋，所以当x＝时，|PQ|2取得最小值，最小值为，此时切线长为|PQ|＝＝.
方法二 圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，
圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.
故|PQ|＝＝.
故当|PC|取得最小值时，切线长最小.
显然，|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以切线长的最小值为＝.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.
故有－＝5，解得m＝25－10.
因为kMN＝＝，
所以两圆公切线的斜率是－.
设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.
解得b＝±.
容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去.
故所求公切线方程为y＝－x＋－，即4x＋3y＋5－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×＝2.
思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)(2020·石家庄模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
答案 B
解析 易得圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5<2＋4＝r1＋r2且5>r2－r1，所以两圆相交.
(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a＝________.
答案 ±2
解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.
原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝.
∵公共弦长为2，
∴a2＝()2＋2，
∴a2＝4，a＝±2.
1.已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
答案 B
解析 圆C的方程可化为2＋2＝，圆心C，半径r＝，圆心到直线ax＋by＝0的距离为d＝＝＝r，所以直线与圆相切.
2.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交.
方法二 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，
因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线l与圆相交.
3.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(121，＋∞)
C.[1，121] D.(1，121)
答案 C
解析 x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，
若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，
所以1≤m≤121.故选C.
4.(2019·河南八市重点高中联考)已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为( )
A.(2－，2＋)
B.(2－，2)
C.(－15，＋∞)
D.(－15，2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径r＝，2－a>0，∴a<2，
圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.
则弦长为2＝2<6.
解得a>－15，故－15
A.m∥l，且l与圆相交
B.m⊥l，且l与圆相切
C.m∥l，且l与圆相离
D.m⊥l，且l与圆相离
答案 C
解析 ∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2
又kOP＝，∴km＝－，
∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝>＝r，
∴m∥l，l与圆相离.故选C.
6.(2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A(a，0)(a>0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切于点B，且|AB|＝，则△OAB的面积是( )
A. B. C.1 D.2
答案 B
解析 由切线的性质可得△ABO是以点B为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，AB＝，则OB＝1，OA＝2，△OAB的面积是×1×＝.
7.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－ B.或－ C. D.
答案 B
解析 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.
8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为________.
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析 圆心到直线的距离为＝3，
则所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
9.(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________.
答案 (x－3)2＋(y－3)2＝34
解析 方法一 联立方程
解得交点坐标为A(－2，0)，B(0，－2).
弦AB的垂直平分线方程为y＋1＝x＋1即x－y＝0.
由解得
弦AB的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)，
半径r＝＝，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝34.
方法二 设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，
即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
∴圆心为，
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，∴－a＋－3＝0，
∴a＝－6.
∴圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，
即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
10.若过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝______.
答案
解析 由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝.
∵△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝，
则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
11.(2019·包头青山区模拟)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程.
解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，
则有d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
12.已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求该圆的方程.
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
半径r＝.
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心到直线y＝x的距离为d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F).②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
13.(2019·湖南师大附中月考)已知圆x2＋(y－1)2＝2上任一点P(x，y)，其坐标均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3]
答案 A
解析 如图，圆应在直线x＋y＋m＝0的右上方，圆心C(0，1)到直线l的距离为，切线l0应满足＝，∴|1＋m|＝2，m＝1或m＝－3(舍去)，从而－m≤－1，∴m≥1.
14.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为_______.
答案
解析 设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，
则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝＝2，
∴|PM|的最小值为2，
|PQ|＝＝＝.
15.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点( )
A. B. C.(1，2) D.(9，0)
答案 C
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
易知圆C的方程是2＋2＝，①
又x2＋y2＝9，②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，
即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，
即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，
由得x＝1，y＝2.
所以直线AB恒过定点(1，2)，故选C.
16.已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)①请问·是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程.
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①·为定值.
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，
易得|AT|2＝7，
∴·＝||·||cos 0°＝|AT|2＝7，
∴·为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，
即＝4，解得k＝1，
又当k＝1时Δ>0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.
最新考纲
考情考向分析
1.能判断直线与圆的位置关系.
2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要)
d
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
概念方法微思考
1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.
2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
题组二 教材改编
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1，3]
C.[－3，1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
答案 B
解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2
答案 2
解析 由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
题组三 易错自纠
5.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A.[－，] B.[－2，2]
C.[－－1，－1] D.[－2－1，2－1]
答案 D
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，
解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
6.过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________.
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2，
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，
∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
答案 D
解析 因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，由勾股定理得，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.
命题点3 切线问题
例3 (2020·湖北部分重点中学联考)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，2)
C.(2，) D.(2，0)
答案 C
解析 如图所示.
设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，
则|OP|＝，
又xP＝2，则P(2，).
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________.
答案 x－y－2＝0
解析 设P(3，1)，圆心C(2，2)，
则|PC|＝，半径r＝2，
由题意知最短弦过P(3，1)且与PC垂直，kPC＝－1，
所以所求直线方程为y－1＝x－3，即x－y－2＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练1 (1)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则r的取值范围是 ( )
A.0
答案 D
解析 圆心到直线的距离d＝＝1，故r>1.
(2)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
答案 B
解析 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝，由r2＝d2＋2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
(3)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2
解析 根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
∵kAB＝2，∴kAC＝－，
∴直线AC的方程为y＋1＝－(x＋2)，
令x＝0，得y＝－2，
∴圆心C(0，－2)，∴m＝－2.
∴r＝|AC|＝＝.
(4)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________.
答案
解析 方法一 圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，
圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设直线l上任意一点P(x，y)，
则由x＋y＝1，得y＝1－x.
则|PC|＝＝＝.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.
故|PQ|2＝|PC|2－r2＝(2x2－2x＋13)－1＝2x2－2x＋12＝22＋，所以当x＝时，|PQ|2取得最小值，最小值为，此时切线长为|PQ|＝＝.
方法二 圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，
圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.
设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.
故|PQ|＝＝.
故当|PC|取得最小值时，切线长最小.
显然，|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以切线长的最小值为＝.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.
故有－＝5，解得m＝25－10.
因为kMN＝＝，
所以两圆公切线的斜率是－.
设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.
解得b＝±.
容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去.
故所求公切线方程为y＝－x＋－，即4x＋3y＋5－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×＝2.
思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)(2020·石家庄模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
答案 B
解析 易得圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5<2＋4＝r1＋r2且5>r2－r1，所以两圆相交.
(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a＝________.
答案 ±2
解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.
原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝.
∵公共弦长为2，
∴a2＝()2＋2，
∴a2＝4，a＝±2.
1.已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
答案 B
解析 圆C的方程可化为2＋2＝，圆心C，半径r＝，圆心到直线ax＋by＝0的距离为d＝＝＝r，所以直线与圆相切.
2.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交.
方法二 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，
因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线l与圆相交.
3.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(121，＋∞)
C.[1，121] D.(1，121)
答案 C
解析 x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，
若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，
所以1≤m≤121.故选C.
4.(2019·河南八市重点高中联考)已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为( )
A.(2－，2＋)
B.(2－，2)
C.(－15，＋∞)
D.(－15，2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径r＝，2－a>0，∴a<2，
圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.
则弦长为2＝2<6.
解得a>－15，故－15
A.m∥l，且l与圆相交
B.m⊥l，且l与圆相切
C.m∥l，且l与圆相离
D.m⊥l，且l与圆相离
答案 C
解析 ∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2
又kOP＝，∴km＝－，
∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝>＝r，
∴m∥l，l与圆相离.故选C.
6.(2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A(a，0)(a>0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切于点B，且|AB|＝，则△OAB的面积是( )
A. B. C.1 D.2
答案 B
解析 由切线的性质可得△ABO是以点B为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，AB＝，则OB＝1，OA＝2，△OAB的面积是×1×＝.
7.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－ B.或－ C. D.
答案 B
解析 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.
8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为________.
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析 圆心到直线的距离为＝3，
则所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
9.(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________.
答案 (x－3)2＋(y－3)2＝34
解析 方法一 联立方程
解得交点坐标为A(－2，0)，B(0，－2).
弦AB的垂直平分线方程为y＋1＝x＋1即x－y＝0.
由解得
弦AB的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)，
半径r＝＝，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝34.
方法二 设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，
即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
∴圆心为，
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，∴－a＋－3＝0，
∴a＝－6.
∴圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，
即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
10.若过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝______.
答案
解析 由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝.
∵△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝，
则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
11.(2019·包头青山区模拟)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程.
解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，
则有d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
12.已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求该圆的方程.
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
半径r＝.
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心到直线y＝x的距离为d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F).②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
13.(2019·湖南师大附中月考)已知圆x2＋(y－1)2＝2上任一点P(x，y)，其坐标均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3]
答案 A
解析 如图，圆应在直线x＋y＋m＝0的右上方，圆心C(0，1)到直线l的距离为，切线l0应满足＝，∴|1＋m|＝2，m＝1或m＝－3(舍去)，从而－m≤－1，∴m≥1.
14.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为_______.
答案
解析 设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，
则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝＝2，
∴|PM|的最小值为2，
|PQ|＝＝＝.
15.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点( )
A. B. C.(1，2) D.(9，0)
答案 C
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
易知圆C的方程是2＋2＝，①
又x2＋y2＝9，②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，
即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，
即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，
由得x＝1，y＝2.
所以直线AB恒过定点(1，2)，故选C.
16.已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)①请问·是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程.
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①·为定值.
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，
易得|AT|2＝7，
∴·＝||·||cos 0°＝|AT|2＝7，
∴·为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，
即＝4，解得k＝1，
又当k＝1时Δ>0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.
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