2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第6节对数与对数函数

第六节　对数与对数函数

[考纲传真]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念

如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

3．对数函数的定义、图像与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

[常用结论]

1．换底公式的两个重要结论

(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.

其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.

2．对数函数的图像与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．  (　　)

(2)log2x2＝2log2x.  (　　)

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　)

(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．               (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(log29)·(log34)＝(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C．2   D．4

D　[原式＝·＝×＝4.]

3.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a＞1，c＞1

B．a＞1,0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1

D．0＜a＜1,0＜c＜1

D　[由图可知0＜a＜1，又f(0)＝loga c＞0，∴0＜c＜1.]

4．函数f(x)＝log(x2－4)的递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)   D．(－∞，－2)

D　[由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，由复合函数的单调性可知，f(x)＝log(x2－4)的递增区间，即为y＝x2－4在{x|x＞2或x＜－2}上的递减区间，故选D.]

5．若a＝log4 3，则2a＋2－a＝________.

　[∵a＝log4 3，∴2a＝2log4 3＝2log2 ＝，∴2－a＝，

∴2a＋2－a＝＋＝.]

对数的运算

1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.　　　　　　　　 B．10

C．20   D．100

A　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，

∴m＝.]

2．化简下列各式：

(1)lg ＋lg 70－lg 3－；

(2)log3 ·log5[4log2 10－(3)－7log7 2]；

(3)(log3 2＋log9 2)·(log4 3＋log8 3)．

[解]　(1)原式＝lg －

＝lg 10－

＝1－|lg 3－1|＝lg 3.

(2)原式＝log3 ·log5[10－(3)－7log7 2]

＝(log3 3－1)·log5(10－3－2)

＝·log5 5

＝－.

(3)原式＝·＝·＝·＝.

对数函数的图像及应用

【例1】　(1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是(　　)

　        A　　　　 　B　　 　　　C　　　 　　D

(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(1,2]   D.

(1)C　(2)C　[(1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上递减，排除D.故选C.

(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在区间(1,2)上的图像在f2(x)＝loga x的图像的下方即可．

当0＜a＜1时，显然不成立．

当a＞1时，如图所示，要使在区间(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝loga x的图像的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga 2，所以loga 2≥1，即1＜a≤2.]

(1)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大致为(　　)

A　　　　 B　　 　　C　　　　D

(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

(1)C　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，

∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝

∴当x≥0时，函数g(x)递增，且g(0)＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)递减．故选C.

法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，

∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C.

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]

对数函数的性质及应用

【例2】　(1)(2018·天津高考)已知a＝log2 e，b＝ln 2，c＝log ，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c   B．b＞a＞c

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

(2)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)

B．(－4,4]

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)

D．[－4,4)

(1)D　(2)D　[因为a＝log2 e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log ＝log2 3＞log2 e＞1，所以c＞a＞b，故选D.

(2)由题意可知解得－4≤a＜4.

故所求实数a的取值范围为[－4,4)．]

(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0,1)

(3)已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上递增，a＝f，b＝f，c＝f(log32)，则下列关系式中正确的是(　　)

A．a＜b＜c   B．a＜c＜b

C．c＜a＜b   D．c＜b＜a

(1)A　(2)C　(3)D　[(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln ＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.

(2)由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

(3)log2 ＝－log2 3，而0＜log3 2＜1＜＝log2 ＜log2 ＝log2 3.∵函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上递增，

∴f(log3 2)＜f＜f(log2 3)＝f(－log23)＝f，∴c＜b＜a，故选D.]

1．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A．a＋b＜ab＜0　　　　　 B．ab＜a＋b＜0

C．a＋b＜0＜ab   D．ab＜0＜a＋b

B　[由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜＋＜1，得0＜＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.]

2．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则(　　)

A．ac＜bc   B．abc＜bac

C．alogbc＜blogac   D．logac＜logbc

C　[∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，

∴当a＞b＞1,0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．

∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，

∴当a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，

ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．

∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0，

∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0.

∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确．

同理可证logac＞logbc，选项D不正确．]

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.

－2　[由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.]