2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第七章7.4基本不等式及其应用

§7.4　基本不等式及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.



1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

概念方法微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f (x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)
题组二　教材改编
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77 C．81 D．82
答案　C
解析　∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0 ∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.


题组三　易错自纠
4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当x>0时，x＋≥2＝2.
因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.
5．若函数f (x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f (x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f (x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·
＝
≥(4＋9＋2)＝5，
当且仅当＝，即x＝，y＝1时，“＝”成立，
故4x＋3y的最小值为5.故选D.

利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1 (1)已知0 答案　
解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)
≤·2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
(2)已知x<，则f (x)＝4x－2＋的最大值为________．
答案　1
解析　因为x<，所以5－4x>0，
则f (x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f (x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)已知函数f (x)＝(x<－1)，则(　　)
A．f (x)有最小值4 B．f (x)有最小值－4
C．f (x)有最大值4 D．f (x)有最大值－4
答案　A
解析　f (x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f (x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f (x)有最小值4.
命题点2　常数代换法
例2 若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案　A
解析　因为2m＋n＝1，
则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
命题点3　消元法
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x>0，y>0，
所以x＋3y≥2，
所以3xy≤2，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
跟踪训练1 (1)(2019·天津)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
答案　4
解析　＝
＝＝2＋ .
由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，
当且仅当x＝2y＝时等号成立．
所以2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，
结合xy≤可知，xy可以取到3，
故的最小值为4.
(2)(2019·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b)在直线x＋y＋c＝2上，则＋的最小值为________．
答案　2＋2
解析　∵P(a，b)在x＋y＋c＝2上，
∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，
＋＝＋＝＋－1，
设则m＋n＝2，
＋＝＋＝×
＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，
∴＋－1≥3＋2－1＝2＋2，
即＋的最小值为2＋2.
基本不等式的综合应用
命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
答案　
解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，
Sn＝，
所以＝＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.
命题点2　求参数值或取值范围
例5 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B.
思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
跟踪训练2 (1)已知函数f (x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．3
答案　B
解析　 由函数f (x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋＝(2a＋b)
＝≥
＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9，故选B.
(2)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由△ABC的面积为2，
所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8，
在△ABC中，由正弦定理得
＋＝＋
＝＋＝＋
＝＋－
≥2－＝2－＝，
当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.
基本不等式的实际应用
例6 (1)(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案　30
解析　一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，
当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
(2)某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．

答案　1 568
解析　由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
跟踪训练3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m.
答案　160
解析　设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m，
由题意可得水池总造价
f (x)＝150×＋120
＝240 000＋720(x>0)，
则f (x)＝720＋240 000
≥720×2＋240 000
＝720×2×40＋240 000＝297 600，
当且仅当x＝，即x＝40时，f (x)有最小值297 600，
此时另一边的长度为＝40(m)，
因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.


1．函数f (x)＝的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　f (x)＝＝|x|＋≥2＝4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.
2．(2019·潍坊模拟)“a＝2”是“∀x>0，x＋≥a成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵∀x>0时，x＋≥2，
∴ “∀x>0，x＋≥a”等价于a≤2，
而a＝2可推出a≤2，a≤2不能推出a＝2，
所以“a＝2”是“∀x>0，x＋≥a”成立的充分不必要条件．故选A.
3．(2019·如皋期末)若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
答案　B
解析　实数x，y满足xy＋6x＝4，
∴x＝∈，y>0，
则＋＝y＋6＋≥2＋6＝8，
当且仅当y＝1，x＝时取等号．
∴＋的最小值为8.
4．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
答案　C
解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
5．已知函数f (x)＝ex在点(0，f (0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
答案　D
解析　由题意得f′(x)＝ex，
f (0)＝e0＝1，
k＝f′(0)＝e0＝1.
∴切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，
∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，
∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝，故选D.
6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________．
答案　6
解析　由xy＋x－y－10＝0，得x＝＝＋1，
∴x＋y＝＋1＋y≥2＝6，
当且仅当＝1＋y，即x＝4，y＝2时，等号成立．
8．函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案　2＋2
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
9．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________．
答案　
解析　由题意得b2＋c2－a2＝bc，
∴2bccos A＝bc，∴cos A＝，∴A＝.
∵△ABC的面积为，
∴bcsin A＝，∴bc＝3.
∵a2＝b2＋c2－bc，
∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c＝时，等号成立)，
∴a≥.
10．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
答案　4
解析　∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B＋2sin Ccos A＝0，求△ABC面积的最大值．
解　由正弦定理得，b＋2ccos A＝0，
由余弦定理得b＋2c·＝0，即2b2＝a2－c2，
cos B＝＝＝
≥＝，
当且仅当c2＝，b2＝，a2＝4时取等号，
∴B∈，∴0 则S△ABC＝acsin B≤×4×＝1，
∴△ABC面积的最大值为1.
12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·＝
≥＝，
由解得
当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
∴＋的最小值为.

13．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　)
A．3 B．4 C. D.
答案　A
解析　∵＝＋

＝＋
＝＋＝＋，
∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝＋＋＋≥＋2
＝＋＝3，
当且仅当m＝n＝1时等号成立．
14．(2019·北京师范大学附属中学模拟)已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．
(1)求证： ＋＋≥；
(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(1)证明　因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，
所以＋＋
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
＝≥(3＋2＋2＋2)＝，
当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，
所以＋＋≥得证．
(2)解　因为a＋b＋c＝3，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，
因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，
所以(a2＋b2＋c2)min＝3，
由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，
即得x2－mx＋1≥0恒成立，
因此Δ＝m2－4≤0 ⇒－2≤m≤2.
故存在实数m∈[－2,2]使不等式成立．

15．已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
答案　4
解析　由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤2＝，
∴a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b，且a2＝，即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋的最小值为4.
16．已知P为椭圆＋＝1上一个动点，过点P作圆(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图，由题意设∠APB＝2θ，
则|PA|＝|PB|＝，

∴·＝||||cos 2θ
＝·cos 2θ＝·cos 2θ，
设cos 2θ＝t，
则·＝＝(1－t)＋－3
≥2－3＝2－3，
当且仅当1－t＝，即t＝1－时等号成立，
此时cos 2θ＝1－.
又当点P在椭圆的右顶点时，sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝，
此时·最大，且最大值为×＝.
∴·的取值范围是.故选C.