2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第七章第3节　基本不等式及其应用

第3节　基本不等式及其应用

考试要求　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知 识 梳 理

1.基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

[常用结论与微点提醒]

1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

2.ab≤≤.

3.≤≤≤(a>0，b>0).

4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)

(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)

(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)

解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；

不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.

(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.

(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.

(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　)

A.2   B.4   C.2   D.6

解析　∵x>2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.

当x－2＝，即x＝4时等号成立.

答案　D

3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x<0，则x＋(　　)

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为－2

D.有最大值，且最大值为－2

解析　因为x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.

答案　D

4.(2020·安徽江南十校联考)已知实数x满足logx>1，则函数y＝8x＋的最大值为(　　)

A.－4   B.8   C.4   D.0

解析　由logx>1得0<x<，∴－1<2x－1<0.

y＝8x＋＝4(2x－1)＋＋4

＝－＋4≤－4＋4＝0，

当且仅当4(1－2x)＝，即x＝时，取等号，故选D.

答案　D

5.(多填题)(2019·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.

解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.

答案　15　

6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.

解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.

答案　

考点一　利用基本不等式求最值　多维探究

角度1　配凑法求最值

【例1－1】 (1)(2020·乐山一中月考)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.

(2)若a>0，则a＋的最小值为________.

解析　(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤2＝，

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.

∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.

(2)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立.所以a＋的最小值为.

答案　(1)　(2)

规律方法　配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

角度2　常数代换法求最值

【例1－2】 (2019·龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)

A.3   B.5   C.7   D.9

解析　∵x>0，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.

答案　C

规律方法　常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值.

角度3　消元法求最值

【例1－3】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故x＋2y的最小值为.

答案　A

规律方法　消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的取值范围.

【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)

A.f(x)有最小值4    B.f(x)有最小值－4

C.f(x)有最大值4    D.f(x)有最大值－4

(2)(角度2)(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.

(3)(角度3)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)

A.2   B.3   C.4   D.6

解析　(1)f(x)＝＝－

＝－＝－

＝－(x＋1)＋＋2.

因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，

所以f(x)≥2＋2＝4，

当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.

故f(x)的最小值为4.

(2)∵x>0，y>0，∴>0.

∵x＋2y＝5，∴＝

＝＝2＋≥2＝4，

当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.

∴的最小值为4.

(3)由题意可得b＋c＝2－a>0，所以0<a<2.

＋＝＋＝＝＝＝≥3×＝3，当且仅当a＝1时等号成立，所以＋的最小值是3.

答案　(1)A　(2)4　(3)B

考点二　基本不等式的实际应用

【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

解　(1)所用时间为t＝(h)，

y＝×2×＋14×，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]

(或y＝＋x，x∈[50，100]).

(2)y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，

即x＝18时等号成立.

故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.

规律方法　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.

解析　由题意知t＝－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－＋－3＝45.5－≤45.5－2＝37.5，

当且仅当x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元.

答案　37.5

考点三　基本不等式的综合应用

【例3】 (1)(2019·惠州调研)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　　)

A.16  B.8  C.4  D.2

(2)(2020·长沙模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB、三棱锥M－PBC、三棱锥M－PCA的体积.若f(M)＝，且＋≥ 8恒成立，则正实数a的最小值为________.

解析　(1)由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A.

(2)∵PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，

∴VP－ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y.

∴x＋y＝，则2x＋2y＝1.

∵a>0，∴＋＝(2x＋2y)＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋4(当且仅当＝，即y＝x时，取等号)，因此2＋2a＋4≥8，解得a≥1，

∴正实数a的最小值为1.

答案　(1)A　(2)1

规律方法　(1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.

(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.

【训练3】 (2020·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)

A.   B.2   C.4   D.

解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，

∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，

∵＋≥2＝2，当且仅当＝即m＝n时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2，故选B.

答案　B

A级　基础巩固

一、选择题

1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)

A.a＋b≥2    B.＋≥2

C.≥2    D.a2＋b2>2ab

解析　因为和同号，所以＝＋≥2.

答案　C

2.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)

A.9   B.18   C.36   D.81

解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.

答案　A

3.下列结论正确的是(　　)

A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2

B.<1(x∈R)

C.当x>0时，＋≥2

D.当0<x≤2时，x－无最大值

解析　对于A，当0<x<1时，lg x<0，不等式不成立；

对于B，当x＝0时，有＝1，不等式不成立；

对于C，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；

对于D，当0<x≤2时，y＝x－单调递增，所以当x＝2时，取得最大值，最大值为.

答案　C

4.(2020·玉溪一中月考)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)

A.   B.   C.－1   D.0

解析　因为x∈，所以f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.

又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.

答案　D

5.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)

A.2   B.2   C.4   D.4

解析　由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，

∴≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，

∴|PA|＋|PB|≤2，∴|PA|＋|PB|的最大值为2.

答案　B

6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A.60件    B.80件

C.100件    D.120件

解析　设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由基本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.

答案　B

7.(2019·汕尾联考)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)

A.4   B.   C.   D.6

解析　圆的一般方程化成标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，依据圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，得a＋2b＝2(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)＝×≥×(5＋2)＝(当且仅当a＝b＝时取等号).

答案　B

8.(2020·信阳模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为(　　)

A.1  B.   C.   D.2

解析　由已知可得tan α＝a，tan β＝，

∵α＝2β，∴tan α＝tan 2β，∴a＝，

即a＝，由a>0，b>0得>0，则0<b<2，

∴＋b＝＋b＝＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝时取等号，故选C.

答案　C

二、填空题

9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.

解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，解得≥3，即ab≥9.

答案　[9，＋∞)

10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.

解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.

答案　8

11.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________.

解析　法一　由题意可设P(x0>0)，

则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4.

法二　设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.

答案　4

12.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________.

解析　＝＝＝2＋.

∵x>0，y>0且x＋2y＝4，

∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，

∴2xy≤4，∴≥，

∴2＋≥2＋＝.

答案　

B级　能力提升

13.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.[3，＋∞)    B.(－∞，3]

C.(－∞，6]    D.[6，＋∞)

解析　因为a>0，b>0，＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立.

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，

即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，

令f(x)＝x2－4x－2，

则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，

所以f(x)的最小值为－6，

所以－6≥－m，即m≥6.

答案　D

14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)

A.2   B.2＋   C.4   D.2＋2

解析　因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，

所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，

所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，

当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，

所以＋的最小值为2＋2.

答案　D

15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.

解析　∵a，b∈R，ab>0，

∴≥＝4ab＋≥2＝4，

当且仅当即时取得等号.

答案　4

16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.

解析　对任意x∈N*，f(x)≥3，

即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.

设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，

当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，

∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，

∴a≥－，故a的取值范围是.

答案　

C级　创新猜想

17.(新定义题)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________.

解析　由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.

又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，

当且仅当＝，即x＝1时取等号，

故函数f(x)的最小值为3.

答案　1　3