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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲解读] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点)
2．能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会考查：①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与圆相交的弦长问题；③利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要忽略在解答题中出现的可能性.
1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
(3)弦长公式|AB|＝|xA－xB|
＝.
1．概念辨析
(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．( )
(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
解析 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1.故选B.
(2)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 B.
C.或0 D.或0
答案 D
解析 因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.故选D.
(3)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．
答案 x－y＋2＝0
解析 由得4x－4y＋8＝0，
即x－y＋2＝0.
(4)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.
题型一 直线与圆的位置关系的判断
1．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交或相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 解法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，恒过定点(1,2)，
因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
解法二：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.
圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝<2，所以直线与圆相交．
解法三：由kx－y＋2－k＝0得y＝kx＋2－k，
代入x2＋y2－2x－8＝0，得
x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，
整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，
Δ＝[－(2k2－4k＋2)]2－4(1＋k2)(k2－4k－4)
＝4(k2－2k＋1)2－4(1＋k2)(k2－4k－4)
＝4(9k2＋5)>0.
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
2．(2019·惠州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．－或 D．－2或2
答案 C
解析 因为圆O的半径为2，若圆O上到直线l的距离等于1的点恰有3个，则圆心到直线l的距离d＝＝1，解得a＝±.
3．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2，2]
C．[－－1，－1] D．[－2－1,2－1]
答案 D
解析 解法一：由消去y整理得2x2＋(2m－6)x＋m2－2m＋1＝0.
由Δ＝(2m－6)2－4×2×(m2－2m＋1)＝－4(m2＋2m－7)≥0，
解得－2－1≤m≤2－1.
解法二：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
圆心坐标为(2,1)，半径r＝2.
由题意得圆心到直线x－y＋m＝0的距离
d＝≤2，解得－2－1≤m≤2－1.
判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．见举例说明1解法二．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．见举例说明1解法三．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．如举例说明1解法一．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
1．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
答案 C
解析 ∵直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，∴圆心到直线的距离>2，即c2>a2＋b2.故△ABC是钝角三角形．故选C.
2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案 [1，)
解析 画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．
题型二 圆的切线和弦长问题
角度1 直线与圆的相切问题(多维探究)
1．(2019·丹东二模)经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x＝3
C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或x＝3
答案 C
解析 由x2＋y2－2x－4y－3＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2，当过点M(3,0)的切线存在斜率k时，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，∵圆心到它的距离为2，∴有＝2⇒k＝1；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心到它的距离为2≠2，∴x＝3不是圆的切线．因此切线方程为x－y－3＝0.
条件探究 将本例中的条件改为“经过点M(＋1,2－)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线l”，则l的方程为____________．
答案 x－y＋1－2＝0
解析 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点M在圆C上．
又kMC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴经过点M的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
角度2 与圆有关的弦长问题
2．(2020·遵义航天高级中学月考)直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C. D．±
答案 D
解析 圆心(0,0)到直线l：x＋ay－2＝0的距离d＝，因为直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以2＋2＝4，解得a＝±，所以直线l的斜率为－＝±.
角度3 与圆有关的最值问题
3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．见举例说明1的条件探究．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．见举例说明1
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
3．求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2.
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝ ＝ |x1－x2|
＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
4．借助几何性质求与圆有关的最值问题
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．见举例说明3.
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
1．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或 B.
C．－或 D.
答案 A
解析 由题意可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离等于，所以＝，解得k＝±.故选A.
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
答案 C
解析 解法一：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为＝＝.
解法二：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝ ＝ ，由m∈R可得|PC|min＝.
3．已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
解析 解法一：如图设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
解法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
题型三 圆与圆的位置关系
1．(2019·揭阳模拟)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
答案 －9或11
解析 因为x2＋y2－6x－8y－m＝0，所以(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以＝1＋或＝|1－|，解得m＝－9或11.
条件探究1 将本例中条件改为“已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切”，则ab的最大值为________．
答案
解析 由圆C1与圆C2相外切，得
＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据基本不等式可知ab≤2＝，
当且仅当a＝b时等号成立．
条件探究2 将本例中两圆的方程改为圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＋8x＋12＝0，则这两个圆的位置关系是________．
答案 相离
解析 圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标C1(3,0)，半径r1＝3，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心坐标C2(－4,0)，半径r2＝2，则圆心距为|C1C2|＝|3－(－4)|＝7，
因为|C1C2|>r1＋r2.所以两圆相离．
2．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解 (1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
1．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 A
解析 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y＝，如图，由已知得|AC|＝，|OA|＝2，∴|OC|＝＝1，∴a＝1.
组 基础关
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，圆O的半径为1，圆O的圆心到直线ax＋by－1＝0的距离d＝<1，所以直线ax＋by＝1与圆O相交．
2．若直线x－y＋1＝0与圆C：(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆C的圆心为(a,0)，半径为，因为直线x－y＋1＝0与圆C有公共点，所以有≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3．圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为M(－2,3)，半径r＝3，|CM|＝＝5，∴圆C的半径为5－3＝2，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
4．(2020·安徽定远中学月考)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2与圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，若|OA|＝|OB|，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为|OA|＝|OB|，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，O(0,0)，C1(m，m＋6)，C2(－1,2)三点共线，所以＝－2，得m＝－2.
5．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
答案 A
解析 设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
6．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋3＝0
答案 A
解析 设圆心C到直线l的距离为d，则有cos＝，要使∠ACB最小，则d要取到最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.
7．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案 A
解析 由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
8．(2019·天津河西区模拟)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________．
答案 x＋y－＝0
解析 设直线方程为y＝－x＋b(b>0)与圆x2＋y2＝1相切，所以d＝＝1，b＝，所以y＝－x＋，即x＋y－＝0.
9．(2019·烟台模拟)已知圆x2＋y2＋4x－5＝0的弦AB的中点为(－1,1)，直线AB交x轴于点P，则·的值为________．
答案 －5
解析 设M(－1,1)，圆心C(－2,0)，因为kMC＝＝1，AB⊥MC，所以kAB＝－1，所以直线AB的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0，联立方程
得2x2＋4x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－，易知点P的坐标为(0,0)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＝－5.
10．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．
答案 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
解析 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
组 能力关
1．已知方程kx＋3－2k＝有两个不同的解，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意得，半圆y＝和直线y＝kx－2k＋3有两个交点，又直线y＝kx－2k＋3过定点C(2,3)，如图．
当直线在AC位置时，斜率k＝＝.
当直线和半圆相切时，由半径2＝，
解得k＝，故实数k的取值范围是.
2．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3 B．6
C．4 D．2
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴|AC|＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得|ME|＝，∴|BD|＝2|BE|＝2＝2.S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝|BD|·|EA|＋|BD|·|EC|＝|BD|·(|EA|＋|EC|)＝|BD|·|AC|＝×2×2＝2.故选D.
3．(2020·南阳高三阶段考试)若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
答案 －1 x2＋(y－1)2＝1
解析 kPQ＝＝1，故直线l的斜率为－1，由点斜式可知l的方程为y＝－x＋3，圆心(2,3)关于直线y＝－x＋3的对称点为(0,1)，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.
4．(2019·广东省六校联考)已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．
答案 4
解析 点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)．由反射的对称性可知，P′Q与圆相切，|PQ|＋|QT|＝|P′T|.
∵圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心坐标为A(3,4)，半径r＝2，∴|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，
∴|PQ|＋|QT|＝|P′T|
＝＝4.
5．(2019·重庆一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4与直线m：y＝x－1的交点为圆C的圆心，设圆C的半径为1.
(1)过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)过点A作斜率为－的直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长．
解 (1)联立，得解得C(3,2)，则过点A的圆C的切线的斜率一定存在，设过点A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，则＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)易得直线l：x＋2y－6＝0，则圆心C到直线l的距离d＝＝，
则弦长|AB|＝2＝.
6．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1.
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆C的圆心(2,3)在l上，所以|MN|＝2.
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲解读] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点)
2．能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会考查：①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与圆相交的弦长问题；③利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要忽略在解答题中出现的可能性.
1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
(3)弦长公式|AB|＝|xA－xB|
＝.
1．概念辨析
(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．( )
(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
解析 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1.故选B.
(2)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 B.
C.或0 D.或0
答案 D
解析 因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.故选D.
(3)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．
答案 x－y＋2＝0
解析 由得4x－4y＋8＝0，
即x－y＋2＝0.
(4)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.
题型一 直线与圆的位置关系的判断
1．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交或相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 解法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，恒过定点(1,2)，
因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
解法二：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.
圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝<2，所以直线与圆相交．
解法三：由kx－y＋2－k＝0得y＝kx＋2－k，
代入x2＋y2－2x－8＝0，得
x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，
整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，
Δ＝[－(2k2－4k＋2)]2－4(1＋k2)(k2－4k－4)
＝4(k2－2k＋1)2－4(1＋k2)(k2－4k－4)
＝4(9k2＋5)>0.
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
2．(2019·惠州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．－或 D．－2或2
答案 C
解析 因为圆O的半径为2，若圆O上到直线l的距离等于1的点恰有3个，则圆心到直线l的距离d＝＝1，解得a＝±.
3．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2，2]
C．[－－1，－1] D．[－2－1,2－1]
答案 D
解析 解法一：由消去y整理得2x2＋(2m－6)x＋m2－2m＋1＝0.
由Δ＝(2m－6)2－4×2×(m2－2m＋1)＝－4(m2＋2m－7)≥0，
解得－2－1≤m≤2－1.
解法二：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
圆心坐标为(2,1)，半径r＝2.
由题意得圆心到直线x－y＋m＝0的距离
d＝≤2，解得－2－1≤m≤2－1.
判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．见举例说明1解法二．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．见举例说明1解法三．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．如举例说明1解法一．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
1．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
答案 C
解析 ∵直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，∴圆心到直线的距离>2，即c2>a2＋b2.故△ABC是钝角三角形．故选C.
2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案 [1，)
解析 画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．
题型二 圆的切线和弦长问题
角度1 直线与圆的相切问题(多维探究)
1．(2019·丹东二模)经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x＝3
C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或x＝3
答案 C
解析 由x2＋y2－2x－4y－3＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2，当过点M(3,0)的切线存在斜率k时，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，∵圆心到它的距离为2，∴有＝2⇒k＝1；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心到它的距离为2≠2，∴x＝3不是圆的切线．因此切线方程为x－y－3＝0.
条件探究 将本例中的条件改为“经过点M(＋1,2－)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线l”，则l的方程为____________．
答案 x－y＋1－2＝0
解析 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点M在圆C上．
又kMC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴经过点M的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
角度2 与圆有关的弦长问题
2．(2020·遵义航天高级中学月考)直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C. D．±
答案 D
解析 圆心(0,0)到直线l：x＋ay－2＝0的距离d＝，因为直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以2＋2＝4，解得a＝±，所以直线l的斜率为－＝±.
角度3 与圆有关的最值问题
3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．见举例说明1的条件探究．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．见举例说明1
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
3．求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2.
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝ ＝ |x1－x2|
＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
4．借助几何性质求与圆有关的最值问题
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．见举例说明3.
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
1．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或 B.
C．－或 D.
答案 A
解析 由题意可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离等于，所以＝，解得k＝±.故选A.
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
答案 C
解析 解法一：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为＝＝.
解法二：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝ ＝ ，由m∈R可得|PC|min＝.
3．已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
解析 解法一：如图设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
解法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
题型三 圆与圆的位置关系
1．(2019·揭阳模拟)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
答案 －9或11
解析 因为x2＋y2－6x－8y－m＝0，所以(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以＝1＋或＝|1－|，解得m＝－9或11.
条件探究1 将本例中条件改为“已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切”，则ab的最大值为________．
答案
解析 由圆C1与圆C2相外切，得
＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据基本不等式可知ab≤2＝，
当且仅当a＝b时等号成立．
条件探究2 将本例中两圆的方程改为圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＋8x＋12＝0，则这两个圆的位置关系是________．
答案 相离
解析 圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标C1(3,0)，半径r1＝3，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心坐标C2(－4,0)，半径r2＝2，则圆心距为|C1C2|＝|3－(－4)|＝7，
因为|C1C2|>r1＋r2.所以两圆相离．
2．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解 (1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
1．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 A
解析 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y＝，如图，由已知得|AC|＝，|OA|＝2，∴|OC|＝＝1，∴a＝1.
组 基础关
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，圆O的半径为1，圆O的圆心到直线ax＋by－1＝0的距离d＝<1，所以直线ax＋by＝1与圆O相交．
2．若直线x－y＋1＝0与圆C：(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆C的圆心为(a,0)，半径为，因为直线x－y＋1＝0与圆C有公共点，所以有≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3．圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为M(－2,3)，半径r＝3，|CM|＝＝5，∴圆C的半径为5－3＝2，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
4．(2020·安徽定远中学月考)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2与圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，若|OA|＝|OB|，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为|OA|＝|OB|，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，O(0,0)，C1(m，m＋6)，C2(－1,2)三点共线，所以＝－2，得m＝－2.
5．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
答案 A
解析 设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
6．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋3＝0
答案 A
解析 设圆心C到直线l的距离为d，则有cos＝，要使∠ACB最小，则d要取到最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.
7．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案 A
解析 由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
8．(2019·天津河西区模拟)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________．
答案 x＋y－＝0
解析 设直线方程为y＝－x＋b(b>0)与圆x2＋y2＝1相切，所以d＝＝1，b＝，所以y＝－x＋，即x＋y－＝0.
9．(2019·烟台模拟)已知圆x2＋y2＋4x－5＝0的弦AB的中点为(－1,1)，直线AB交x轴于点P，则·的值为________．
答案 －5
解析 设M(－1,1)，圆心C(－2,0)，因为kMC＝＝1，AB⊥MC，所以kAB＝－1，所以直线AB的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0，联立方程
得2x2＋4x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－，易知点P的坐标为(0,0)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＝－5.
10．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．
答案 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
解析 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
组 能力关
1．已知方程kx＋3－2k＝有两个不同的解，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意得，半圆y＝和直线y＝kx－2k＋3有两个交点，又直线y＝kx－2k＋3过定点C(2,3)，如图．
当直线在AC位置时，斜率k＝＝.
当直线和半圆相切时，由半径2＝，
解得k＝，故实数k的取值范围是.
2．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3 B．6
C．4 D．2
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴|AC|＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得|ME|＝，∴|BD|＝2|BE|＝2＝2.S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝|BD|·|EA|＋|BD|·|EC|＝|BD|·(|EA|＋|EC|)＝|BD|·|AC|＝×2×2＝2.故选D.
3．(2020·南阳高三阶段考试)若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
答案 －1 x2＋(y－1)2＝1
解析 kPQ＝＝1，故直线l的斜率为－1，由点斜式可知l的方程为y＝－x＋3，圆心(2,3)关于直线y＝－x＋3的对称点为(0,1)，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.
4．(2019·广东省六校联考)已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．
答案 4
解析 点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)．由反射的对称性可知，P′Q与圆相切，|PQ|＋|QT|＝|P′T|.
∵圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心坐标为A(3,4)，半径r＝2，∴|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，
∴|PQ|＋|QT|＝|P′T|
＝＝4.
5．(2019·重庆一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4与直线m：y＝x－1的交点为圆C的圆心，设圆C的半径为1.
(1)过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)过点A作斜率为－的直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长．
解 (1)联立，得解得C(3,2)，则过点A的圆C的切线的斜率一定存在，设过点A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，则＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)易得直线l：x＋2y－6＝0，则圆心C到直线l的距离d＝＝，
则弦长|AB|＝2＝.
6．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1.
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆C的圆心(2,3)在l上，所以|MN|＝2.
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