2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章第3讲　圆的方程


第3讲　圆的方程
[考纲解读]　1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)
2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.

1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：，半径：
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离
(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)d
1．概念辨析
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为 的圆．(　　)
(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．小题热身
(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－2或m>2.
(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．
答案　(－1,1)
解析　因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1 (4)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．
答案　x2＋(y－2)2＝1
解析　由题意，可设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

题型一　求圆的方程
　
1．经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为________．
答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝25
解析　解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
解法二：(直接法)由题意，知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，
所以由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
2．一圆经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．
解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q两点的坐标分别代入，得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．见举例说明1解法一．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．见举例说明2.

1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
答案　D
解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有
解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
答案　x2＋y2－2x＝0
解析　解法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
所以
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
解法二：记O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段OB的垂直平分线方程为x＝1，线段OA的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.
解方程得圆心坐标为(1,0)．
所以半径r＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
题型二　与圆有关的最值问题　

角度1　建立函数关系求最值
1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
答案　12
解析　∵＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，P(x，y)在圆上，∴·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，∵2≤y≤4，∴·≤12.
角度2　借助几何性质求最值
2．(2019·湖南师大附中模拟)已知点A(－2,0)，B(0,1)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为________．
答案　1或－5
解析　由题意，知圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a,0)，半径r＝1，又A(－2,0)，B(0,2)可得直线AB的方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.所以圆心到直线AB的距离d＝，则圆上的点到直线AB的最短距离为d－r＝－1，又|AB|＝＝2，所以△ABC面积的最小值为|AB|·(d－r)＝＝3－，解得a＝1或－5.

求解与圆有关的最值问题的两大规律
(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
答案　A
解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A.
2．(2019·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为(　　)
A．10 B．8
C．5 D．4
答案　B
解析　由已知，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以＋＝(4a＋b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，＋取得最小值8.
题型三　与圆有关的轨迹问题

1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．
解　解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，整理得
又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.

1．掌握“三方法”

2．明确“五步骤”
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

　组　基础关
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0 A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
答案　B
解析　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为00，即>，所以原点在圆外．
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
答案　B
解析　因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.故选B.
3．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2 4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
答案　A
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A.
5．(2019·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
答案　C
解析　由圆C的圆心坐标C(6,8)，得OC的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝＝5，则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
6．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于直线y＝x对称，则k的值为(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．0
答案　A
解析　化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.则圆心坐标为(－k2，－1)，∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于直线y＝x对称，
∴－k2＝－1，得k＝±1.当k＝1时，k4－4k＋1<0，不符合题意，∴k＝－1.故选A.
7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案　A
解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.
8．(2019·太原二模)若圆x2＋y2＋2x－2y＋F＝0的半径为1，则F＝________.
答案　1
解析　由圆x2＋y2＋2x－2y＋F＝0得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－F，由半径r＝＝1，解得F＝1.
9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．
答案　(0，－1)
解析　圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以当k＝0时圆C的面积最大，此时圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
10．已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．
答案　15
解析　解法一：|3x＋4y－26|最小值的几何意义是圆心到直线3x＋4y－26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x＋4y－26|min＝5，(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为＝4，所以|3x＋4y－26|的最小值为5×(4－1)＝15.
解法二：令x＋2＝cosθ，y－3＝sinθ，则x＝cosθ－2，y＝sinθ＋3，|3x＋4y－26|＝|3cosθ－6＋4sinθ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tanφ＝，所以其最小值为|5－20|＝15.
　组　能力关
1．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
答案　D
解析　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．选D.
2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A.－1 B．2－1
C．2 D.
答案　A
解析　设点A关于直线x＋y＝3的对称点为A′(a，b)，则AA′的中点为，kAA′＝，
故解得则从点A到军营的最短总路程，即为点A′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为－1＝－1.
3．(2019·贵阳模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．
答案　2＋(y－2)2＝
解析　设P(x，y)，圆心C(1,1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.又因为＝(2－x,3－y)，＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.
4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程．
解　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由f(x)＝x2－x－6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得解得
所以圆的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0.
(2)由(1)知，圆心坐标为，若直线经过原点，则直线l的方程为5x＋y＝0；若直线不过原点，设直线l的方程为x＋y＝a，则a＝－＝－2，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为5x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
5．已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－1,0)，点B(1,0)．点P是圆O上异于A，B的动点．
(1)证明：kAP·kBP是定值；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2＝－，求点M的轨迹方程C；
(3)证明：kAM·kBM是定值．
解　(1)证明：由已知，直线AP，BP的斜率存在，AB是圆O的直径，所以AP⊥BP，所以kAP·kBP＝－1是定值．
(2)设P(m，n)，M(x，y)，则Q(m,0)，
则＝(0，－n)，＝(x－m，y－n)，
因为2＝－，
所以2(0，－n)＝－(x－m，y－n)，
得即　①
因为点P在圆O上，所以m2＋n2＝1，　②
将①代入②，得x2＋＝1，又点P异于A，B，
所以x≠±1，即点M的轨迹方程C为x2＋＝1(x≠±1)．
(3)证明：由已知，直线AM，BM的斜率存在，
kAM＝，kBM＝，
由(2)知，x2－1＝－，
所以kAM·kBM＝·＝＝－9，
即kAM·kBM是定值．