高考数学一轮复习第8章解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第8章解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案，共9页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a12＋(y－b12＝req \\al(2,1)(r1＞0，
圆O2：(x－a22＋(y－b22＝req \\al(2,2)(r2＞0．
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．当两圆相交(切时，两圆方程(x2，y2项的系数相同相减便可得公共弦(内公切线所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a2＋(y－b2＝r2上一点P(x0，y0的圆的切线方程为(x0－a(x－a＋(y0－b(y－b＝r2．
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f(1,2)l满足关系式r2＝d2＋(eq \f(1,2)l2．
5．过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(2“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(3过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．( √ )
(4圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P132A5改编直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝__eq \r(10)__．
[解析] 圆的方程可化为(x－12＋(y－22＝(eq \r(5)2，
又圆心(1,2到直线l的距离为eq \f(\r(10),2)，
∴|AB|＝2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2)＝eq \r(10)．
题组三 走向高考
3．(2019·浙江，12已知圆C的圆心坐标是(0，m，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1，则m＝__－2__，r＝__eq \r(5)__．
[解析] 解法一：设直线2x－y＋3＝0为l，
则AC⊥l，又kl＝2，∴kAC＝eq \f(m＋1,0＋2)＝－eq \f(1,2)，
解得m＝－2，∴C(0，－2，
∴r＝|AC|＝eq \r(0＋22＋－2＋12)＝eq \r(5)．
解法二：由题知点C到直线的距离为eq \f(|－m＋3|,\r(5))，
r＝|AC|＝eq \r(22＋m＋12)，
由直线与圆C相切得eq \r(22＋m＋12)＝eq \f(|－m＋3|,\r(5))，
解得m＝－2，∴r＝eq \r(22＋－2＋12)＝eq \r(5)．
4．(2015·广东平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( A )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
[解析] 设直线的方程为2x＋y＋c＝0，则由题意知eq \f(|c|,\r(5))＝eq \r(5)，∴c＝±5，
∴所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故选A．
5．(2020·高考全国Ⅰ已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( B )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 圆x2＋y2－6x＝0化为(x－32＋y2＝9，∴圆心C坐标为C(3,0，半径为3，设P(1,2，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2eq \r(9－|CP|2)＝2eq \r(9－8)＝2，故选B．
考点突破·互动探究
考点一 直线与圆的位置关系的判定——自主练透
例1 (1(2020·广东广州综合测试若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是( D )
A．[－3，＋∞B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞D．(－∞，＋∞
(2(多选题(2021·山东日照一中期中已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( AD )
A．m∥lB．m⊥l
C．m与圆相离D．m与圆相交
(3(2021·四川资阳、遂宁等七市联考圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq \r(2)＝0的距离为1的点共有( C )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] (1圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离d＝eq \f(|－k－2＋1|,\r(k2＋1))≤2，化简得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,3)))2＋eq \f(8,3)≥0，故k∈(－∞，＋∞．故选D．
简解：注意到直线kx－y＋1＝0过定点A(0,1，且A在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，故k的取值范围为(－∞，＋∞，故选D．
(2∵点P(a，b在圆x2＋y2＝r2外，∴a2＋b2＞r2，又直线l的方程为y－b＝－eq \f(a,b)(x－a，即ax＋by＝a2＋b2，又m：ax＋by＝r2，∴m∥l，又圆心O到直线m的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＜r，∴m与圆相交，故选AD．
(3圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0即(x＋12＋(y－12＝4的圆心为C(－1,1，半径为r＝2．又C到直线l的距离为d＝eq \f(|－1＋1＋\r(2)|,\r(2))＝1，∴⊙C上到直线l距离为1的点有3个，故选C．
名师点拨
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1几何法：利用d与r的关系．
(2代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(4判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．
〔变式训练1〕
(1(2021·西安八校联考若过点A(3,0的直线l与曲线(x－12＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
(2(多选题(2021·湖南五市十校联考改编已知两点M(－1,0，N(1,0，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，则实数m的值可以是( BCD )
A．－12B．0
C．2D．5
[解析] (1数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3，则圆心(1,0到直线y＝k(x－3的距离应小于或等于半径1，即eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)，故选D．
(2设P(x，y，则eq \(PM,\s\up6(→))＝(－1－x，－y，eq \(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y，由eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(PN,\s\up6(→))得x2＋y2＝1，因P在直线3x－4y＋m＝0上，故圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(32＋42))≤1，故m∈[－5,5]，故选B、C、D．
考点二 直线与圆的综合问题——多维探究
角度1 圆的切线问题
例2 (1过点P(2,4作圆(x－12＋(y－12＝1的切线，则切线方程为( C )
A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0
(2(2021·云南适应性考试已知圆C的方程为(x－32＋(y－42＝1，过直线l：3x＋ay－5＝0(a＞0上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为eq \r(15)，则直线l的斜率为__－eq \f(3,4)__．
[解析] (1当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2，即kx－y＋4－2k＝0，则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0．
(2设切线长最小时直线上对应的点为P，则PC⊥l又|CP|＝eq \f(|3×3＋4a－5|,\r(a2＋9))＝eq \f(|4＋4a|,\r(a2＋9))，因为切线长的最小值为eq \r(15)，故(eq \r(15)2＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋4a|,\r(a2＋9))))2，解得a＝4，故直线l的斜率为－eq \f(3,4)．故答案为：－eq \f(3,4)．
[引申](1若将本例(1中“P(2,4”改为“Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)，1－\f(\r(2),2)))”，则切线方程为__x－y－eq \r(2)＝0__．
(2本例(1中过切点的直线方程为__x＋3y－5＝0__．
角度2 圆的弦长问题
例3 (1(2018·课标全国Ⅰ直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__2eq \r(2)__．
(2(2021·广东广州三校联考已知抛物线y2＝2px(p＞0的准线与圆x2＋y2－4y＝0相交所得的弦长为2eq \r(3)，则p的值为( C )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
[解析] (1将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋12＝4，
则圆心坐标为(0，－1，半径r＝2，
∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，
∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(22－\r(2)2)＝2eq \r(2)．
(2圆x2＋y2－4y＝0即x2＋(y－22＝22的圆心为C(0,2，半径为2，由题意可知圆心到准线x＝－eq \f(p,2)的距离eq \f(p,2)＝eq \r(4－\r(3)2)＝1，∴p＝2．故选C．
名师点拨
直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC．②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．
〔变式训练2〕
(1(角度1(2021·安徽合肥调研若直线l经过抛物线x2＝－4y的焦点且与圆(x－12＋(y－22＝1相切，则直线l的方程为__x＝0或4x－3y－3＝0__．
(2(角度2(2021·河北衡水中学调研过三点A(1,3，B(4,2，C(1，－7的圆截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值等于( B )
A．2eq \r(3)B．4eq \r(3)
C．eq \r(13)D．2eq \r(13)
[解析] (1抛物线x2＝－4y的焦点为F(0，－1，当直线l斜率不存在时，其方程为x＝0，显然与圆相切；当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，∴eq \f(|k－2－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，此时直线l的方程为4x－3y－3＝0．
(2设圆心坐标P为(m，－2，则r2＝(1－m2＋(3＋22＝(4－m2＋(2＋22，解得m＝1，r＝5，所以P(1，－2．又直线过定点Q(－2,0，当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆的性质可知弦长为2eq \r(r2－PQ2)＝2eq \r(25－13)＝4eq \r(3)，∴直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长为4eq \r(3)．故选B．
考点三 圆与圆的位置关系——师生共研
例4 (1(2016·山东高考已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－12＋(y－12＝1的位置关系是( B )
A．内切B．相交
C．外切D．相离
(2已知圆C1：(x－a2＋(y＋22＝4与圆C2：(x＋b2＋(y＋22＝1相外切，则ab的最大值为( C )
A．eq \f(\r(6),2)B．eq \f(3,2)
C．eq \f(9,4)D．2eq \r(3)
[解析] (1由垂径定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))2＋(eq \r(2)2＝a2，
解得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，
所以圆M：x2＋(y－22＝4，
所以圆M与圆N的圆心距d＝eq \r(0－12＋2－12)＝eq \r(2)．
因为2－1＜eq \r(2)＜2＋1，所以两圆相交．故选B．
(2由圆C1与圆C2相外切，
可得eq \r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，
即(a＋b2＝9，根据基本(均值不等式可知ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．
[引申1]把本例(2中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
[解析] 由C1与C2内切，得eq \r(a＋b2＋－2＋22)＝1．
即(a＋b2＝1，又ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为eq \f(1,4)．
[引申2]把本例(2条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在直线的方程．
[解析] 把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得(2a＋2bx＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2bx＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线的方程．
[引申3]将本例(2条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a2＋(y－b2＝1的位置关系．
[解析] 由两圆存在四条公切线，故两圆外离，
故eq \r(a＋b2＋－2＋22)＞3，
∴(a＋b2＞9，即a＋b＞3或a＋b＜－3．
∴圆心(a，b到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|a＋b－1|,\r(2))＞1，
∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a2＋(y－b2＝1相离．
名师点拨
如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．
〔变式训练3〕
(2021·山东济宁期末已知圆M：(x－a2＋y2＝4(a＞0与圆N：x2＋(y－12＝1外切，则直线x－y－eq \r(2)＝0被圆M截得线段的长度为( D )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
[解析] 由题意，eq \r(a2＋1)＝2＋1，∴a＝2eq \r(2)，圆心M(2eq \r(2)，0到直线x－y－eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直线x－y－eq \r(2)＝0被圆M截得线段的长度为2eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，故选D．
名师讲坛·素养提升
解决直线与圆问题中的数学思想
1．数形结合思想
例5 (2021·长春模拟过点(eq \r(2)，0引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( B )
A．eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)
C．±eq \f(\r(3),3)D．－eq \r(3)
[解析] ∵S△AOB＝eq \f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB
＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2)．
当∠AOB＝eq \f(π,2)时，△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝eq \f(\r(2),2)．
设AB方程为y＝k(x－eq \r(2)(k＜0，
即kx－y－eq \r(2)k＝0．由d＝eq \f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(2),2)得k＝－eq \f(\r(3),3)．
2．转化与化归
例6 (2021·江西临川一中、南昌二中联考已知两点A(－2,0，B(2,0以及圆C：(x＋42＋(y－32＝r2(r＞0，若圆C上存在点P，满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则r的取值范围是( B )
A．[3,6]B．[3,7]
C．[4,6]D．[4,7]
[解析] 由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0知PA⊥PB，即P在以AB为直径的圆D：x2＋y2＝4上，由题意可知圆C与圆D相交或相切，∴|r－2|≤eq \r(42＋32)≤r＋2，解得3≤r≤7．故选B．
[引申]若将“eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0”改为“eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＜0”，则r的取值范围为__(3,7__．
名师点拨
根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合
将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归
〔变式训练4〕
(2021·山西模拟直线y＝x＋b与曲线x＝eq \r(1－y2)有且仅有1个公共点，则b的取值范围是( B )
A．{eq \r(2)，－eq \r(2)}B．(－1,1]∪{－eq \r(2)}
C．[－1,1]D．[－1,1]∪{eq \r(2)，－eq \r(2)}
[解析] x＝eq \r(1－y2)可化简为x2＋y2＝1(x≥0，所以它表示单位圆在y轴及其右侧的半圆，其与y轴的交点分别为(0,1，(0，－1．直线y＝x＋b与直线y＝x平行，b表示直线y＝x＋b的纵截距，将直线y＝x上下平移，可知当b∈(－1,1]时，直线y＝x＋b与曲线x＝eq \r(1－y2)有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b＝－eq \r(2)．综上，b的取值范围是(－1,1]∪{－eq \r(2)}．
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d__＜__r
Δ__＞__0
相切
d__＝__r
Δ__＝__0
相离
d__＞__r
Δ__＜__0
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
公切线
条数
外离
__d＞r1＋r2__
__无解__
4
外切
__d＝r1＋r2__
一组实数解
3
相交
__|r1－r2|＜d＜r1＋r2__
两组不同的实数解
2
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2
__一组实数解__
1
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2
__无解__
0