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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章第6讲 双曲线
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第6讲 双曲线
[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)
2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a
(3)当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
续表
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴：|A1A2|＝2a；虚轴：|B1B2|＝2b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．必记结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
1．概念辨析
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(，0)，则C的方程为________．
答案 －＝1
解析 由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝，所以C的方程为－＝1.
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案 17
解析 由题意知|PF1|＝9
答案 4
解析 由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.
(4)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由已知，得2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，所以a＝＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
题型一 双曲线的定义及应用
1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
答案 B
解析 由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 由已知条件及双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
条件探究 将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积为________．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(2)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝2.
1．利用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．
2．利用焦点三角形需注意的问题
在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．
1．设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
解析 易知双曲线的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.
2．(2020·广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由双曲线的定义知，|PF2|－|PF1|＝2a＝2，|QF2|－|QF1|＝2a＝2，所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4，又|PQ|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－4＝4，|PF2|＋|QF2|＝8，所以△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝12.
题型二 双曲线的标准方程及应用
1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≥ )
B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ )
D.＋＝1(x≤－)
答案 A
解析 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故其标准方程为－＝1(x≥)．
条件探究 将本例中的条件改为“动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9都外切”，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ，
解得λ＝－12，
所以双曲线方程为x2－4y2＝－12，即－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．见举例说明1.
(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．见举例说明2(1)．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．
注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)求解．见举例说明2(3)．
1．(2019·昆明模拟)已知双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为y＝±x，则C的方程是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案 B
解析 因为双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，所以c＝，又因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以有＝⇒a＝b，c＝，而c＝，所以解得a＝，b＝1，因此双曲线C的方程为－y2＝1.
2．设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析
F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，∵F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，
∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵双曲线－＝1过点Q(，)，∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，∴双曲线的方程为－＝1.故选D.
题型三 双曲线的几何性质
角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点
及范围问题
1．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.又知－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1<0.∴－
答案 8
解析 双曲线C：－＝1的渐近线方程为±＝0，即ax±by＝0，因为焦点(0，c)到直线ax＋by＝0的距离为3，所以＝3，又a2＋b2＝c2，所以b＝3，又因为2c＝10，c＝5，所以a＝＝4，所以C的实轴长为8.
角度2 与双曲线渐近线有关的问题
3．(2019·衡水模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案 A
解析 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a.整理，得b＝a.所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．(2019·湖北四地七校联考)已知直线x＝4与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若＝a＋b(a，b∈R，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≥ B．a2＋b2≥
C．a2＋b2≤ D．a2＋b2≤
答案 B
解析 因为双曲线C：－y2＝1的渐近线为y＝±，与直线x＝4交于A(4,2)，B(4，－2)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,2)，＝(4，－2)，因为＝a＋b，所以x＝4a＋4b，y＝2a－2b，由于点P(x，y)在双曲线上，故－(2a－2b)2＝1，解得ab＝，则a2＋b2≥2＝(当且仅当a2＝b2且ab＝时取“＝”)．故选B.
角度3 与双曲线离心率有关的问题
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 解法一：由＝，
得A为F1B的中点．
又O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图1所示，不妨设B为.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝＝2.
解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，
∴|OF2|＝|OB|＝c.
如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，
且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．
又＝，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，
∴离心率e＝＝2.
1．与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．见举例说明1.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．
1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是( )
A．焦点坐标不变 B．顶点坐标不变
C．渐近线不变 D．离心率不变
答案 C
解析 当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选C.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 B
解析 由题意，知|F2A|＝＝b，又＝2，则|AB|＝，|OA|＝＝＝a，所以a2＝，得2a2＝c2－a2，即3a2＝c2，e2＝＝3，从而e＝.故选B.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(1,2] D．[，＋∞]
答案 B
解析 由双曲线定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，结合|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝，从而≥c－a，得≥c，所以e＝≤，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为.
题型四 直线与双曲线的综合问题
1．过双曲线M：x2－＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y－0＝k(x＋2)，易知＝，解得k＝1或k＝.当k＝时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍去，所以切线方程为y＝x＋2，与双曲线方程联立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.
2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解 (1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又因为－
1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤
2．一个易错点
联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．
3．一组常用结论
直线与双曲线位置关系
与右支交于两个不同点
与左支交于两个不同点
与左、右两支各有一个交点
满足条件
1．(2019·武汉4月调研)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1， ①
－y＝1. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于(a，b分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．已知双曲线C：－y2＝1
(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若M是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ⊥l于点Q，且|MQ|＋|MF1|的最小值为3，则双曲线C的通径长为________．
答案 2
解析 如图所示，连接MF2，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，∴|MQ|＋|MF1|＝|MF2|＋|MQ|＋2a≥|F2Q|＋2a，当且仅当Q，M，F2三点共线时，|MQ|＋|MF1|取得最小值3.
此时，F2(c,0)到直线l：y＝－x的距离|F2Q|＝，
∴＋2a＝3⇒＋2a＝3⇒a＝1，由定义知通径长为＝2.
组 基础关
1．(2019·唐山统考)“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B．1
C. D．2
答案 C
解析 由题意可得＝1，∴e＝ ＝＝.故选C.
3．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A． B．
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为－＝1，所以c2＝＋＝，所以c＝，所以焦点坐标为.
4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.故选A.
5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.
6．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 A
解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.
7．已知双曲线C：x2－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为( )
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
答案 A
解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为________．
答案
解析 解法一：不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝＝6.①
如图1，在－＝1中，令x＝6，得y2＝b2，
即b2＝25.②
由①②解得所以a＝4，
所以离心率e＝＝.
解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，易知AC＝13.由双曲线的定义可知2a＝|AC|－|BC|＝8，即a＝4.又c＝|AB|＝6，所以离心率e＝＝.
9．(2020·武汉摸底)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
答案 －2
解析 由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)．
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
10．P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．
答案 a
解析 ∵点P是双曲线右支上一点，
∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．
设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．
由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.所以内切圆圆心的横坐标为a.
组 能力关
1．(2019·厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
答案 B
解析 设双曲线的另一个焦点为F′，由OA＝OB＝OF＝OF′＝c，知圆的方程为x2＋y2＝c2，点F(－c,0)到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离为＝b，所以S△ABF＝·2c·b＝8，即bc＝8.
由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x.
2．(2019·河南六市第二次联考)已知直线y＝2b与双曲线－＝1(a>0，b>0)的斜率为正的渐近线交于点A，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若tan∠AF2F1＝，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C．4或 D．4
答案 D
解析 由得点A(2a,2b)，所以tan∠AF2F1＝＝.所以4b2＝15(4a2－4ac＋c2)，即4(c2－a2)＝15(4a2－4ac＋c2)，即64a2－60ac＋11c2＝0，所以11e2－60e＋64＝0.解得e＝4或e＝.经检验，当e＝时，tan∠AF2F1＝－，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.
3．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，
由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝·＝＝4，
解得k＝±.综上可知，这样的直线有3条．
4．(2019·成都七中高三上学期入学考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 D
解析 过右焦点F且与渐近线垂直的直线方程为y＝±(x－c)，不妨取直线y＝－(x－c)．设渐近线y＝x与直线y＝－(x－c)的交点为M.
联立解得x＝故点M的坐标为.由中点坐标公式，得点P的坐标为.将其代入双曲线的方程，得－＝1，化简，得c2＝5a2，由此，得e＝＝.
5．已知等腰三角形ABC的底边端点A，B在双曲线－＝1的右支上，顶点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0>.根据题意，得两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，于是x0(x1－x2)－2y0(y1－y2)＝0，即kAB＝＝.又kMC＝，由kMC·kAB＝·＝－1，得x0＋2(x0－t)＝0，即t＝>.
6．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案 12
解析 如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1，可知a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当|AP|＋|PF1|最小时，
△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为
y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.
7．(2020·济南摸底)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是2x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．
答案 3 (－3,5)
解析 因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝ ＝ ＝＝3.又因为双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3，0)．由题意得右焦点F在圆C外，
所以需满足条件
解得－3
1．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，当k为何值时，以线段AB为直径的圆过原点？
解 (1)设双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，则由题意得解得故双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)联立得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0且3－k2≠0，得－
又因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
所以＋1＝0，解得k＝±1.
综上，当k＝±1时，以线段AB为直径的圆过原点．
2．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意，知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝.
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
第6讲 双曲线
[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)
2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a
(3)当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
续表
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴：|A1A2|＝2a；虚轴：|B1B2|＝2b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．必记结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
1．概念辨析
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(，0)，则C的方程为________．
答案 －＝1
解析 由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝，所以C的方程为－＝1.
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案 17
解析 由题意知|PF1|＝9
答案 4
解析 由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.
(4)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由已知，得2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，所以a＝＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
题型一 双曲线的定义及应用
1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
答案 B
解析 由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 由已知条件及双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
条件探究 将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积为________．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(2)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝2.
1．利用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．
2．利用焦点三角形需注意的问题
在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．
1．设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
解析 易知双曲线的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.
2．(2020·广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由双曲线的定义知，|PF2|－|PF1|＝2a＝2，|QF2|－|QF1|＝2a＝2，所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4，又|PQ|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－4＝4，|PF2|＋|QF2|＝8，所以△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝12.
题型二 双曲线的标准方程及应用
1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≥ )
B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ )
D.＋＝1(x≤－)
答案 A
解析 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故其标准方程为－＝1(x≥)．
条件探究 将本例中的条件改为“动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9都外切”，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ，
解得λ＝－12，
所以双曲线方程为x2－4y2＝－12，即－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．见举例说明1.
(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．见举例说明2(1)．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．
注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)求解．见举例说明2(3)．
1．(2019·昆明模拟)已知双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为y＝±x，则C的方程是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案 B
解析 因为双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，所以c＝，又因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以有＝⇒a＝b，c＝，而c＝，所以解得a＝，b＝1，因此双曲线C的方程为－y2＝1.
2．设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析
F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，∵F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，
∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵双曲线－＝1过点Q(，)，∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，∴双曲线的方程为－＝1.故选D.
题型三 双曲线的几何性质
角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点
及范围问题
1．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.又知－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1<0.∴－
答案 8
解析 双曲线C：－＝1的渐近线方程为±＝0，即ax±by＝0，因为焦点(0，c)到直线ax＋by＝0的距离为3，所以＝3，又a2＋b2＝c2，所以b＝3，又因为2c＝10，c＝5，所以a＝＝4，所以C的实轴长为8.
角度2 与双曲线渐近线有关的问题
3．(2019·衡水模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案 A
解析 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a.整理，得b＝a.所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．(2019·湖北四地七校联考)已知直线x＝4与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若＝a＋b(a，b∈R，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≥ B．a2＋b2≥
C．a2＋b2≤ D．a2＋b2≤
答案 B
解析 因为双曲线C：－y2＝1的渐近线为y＝±，与直线x＝4交于A(4,2)，B(4，－2)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,2)，＝(4，－2)，因为＝a＋b，所以x＝4a＋4b，y＝2a－2b，由于点P(x，y)在双曲线上，故－(2a－2b)2＝1，解得ab＝，则a2＋b2≥2＝(当且仅当a2＝b2且ab＝时取“＝”)．故选B.
角度3 与双曲线离心率有关的问题
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 解法一：由＝，
得A为F1B的中点．
又O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图1所示，不妨设B为.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝＝2.
解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，
∴|OF2|＝|OB|＝c.
如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，
且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．
又＝，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，
∴离心率e＝＝2.
1．与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．见举例说明1.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．
1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是( )
A．焦点坐标不变 B．顶点坐标不变
C．渐近线不变 D．离心率不变
答案 C
解析 当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选C.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 B
解析 由题意，知|F2A|＝＝b，又＝2，则|AB|＝，|OA|＝＝＝a，所以a2＝，得2a2＝c2－a2，即3a2＝c2，e2＝＝3，从而e＝.故选B.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(1,2] D．[，＋∞]
答案 B
解析 由双曲线定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，结合|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝，从而≥c－a，得≥c，所以e＝≤，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为.
题型四 直线与双曲线的综合问题
1．过双曲线M：x2－＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y－0＝k(x＋2)，易知＝，解得k＝1或k＝.当k＝时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍去，所以切线方程为y＝x＋2，与双曲线方程联立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.
2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解 (1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又因为－
1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤
2．一个易错点
联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．
3．一组常用结论
直线与双曲线位置关系
与右支交于两个不同点
与左支交于两个不同点
与左、右两支各有一个交点
满足条件
1．(2019·武汉4月调研)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1， ①
－y＝1. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于(a，b分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．已知双曲线C：－y2＝1
(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若M是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ⊥l于点Q，且|MQ|＋|MF1|的最小值为3，则双曲线C的通径长为________．
答案 2
解析 如图所示，连接MF2，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，∴|MQ|＋|MF1|＝|MF2|＋|MQ|＋2a≥|F2Q|＋2a，当且仅当Q，M，F2三点共线时，|MQ|＋|MF1|取得最小值3.
此时，F2(c,0)到直线l：y＝－x的距离|F2Q|＝，
∴＋2a＝3⇒＋2a＝3⇒a＝1，由定义知通径长为＝2.
组 基础关
1．(2019·唐山统考)“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B．1
C. D．2
答案 C
解析 由题意可得＝1，∴e＝ ＝＝.故选C.
3．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A． B．
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为－＝1，所以c2＝＋＝，所以c＝，所以焦点坐标为.
4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.故选A.
5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.
6．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 A
解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.
7．已知双曲线C：x2－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为( )
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
答案 A
解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为________．
答案
解析 解法一：不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝＝6.①
如图1，在－＝1中，令x＝6，得y2＝b2，
即b2＝25.②
由①②解得所以a＝4，
所以离心率e＝＝.
解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，易知AC＝13.由双曲线的定义可知2a＝|AC|－|BC|＝8，即a＝4.又c＝|AB|＝6，所以离心率e＝＝.
9．(2020·武汉摸底)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
答案 －2
解析 由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)．
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
10．P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．
答案 a
解析 ∵点P是双曲线右支上一点，
∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．
设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．
由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.所以内切圆圆心的横坐标为a.
组 能力关
1．(2019·厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
答案 B
解析 设双曲线的另一个焦点为F′，由OA＝OB＝OF＝OF′＝c，知圆的方程为x2＋y2＝c2，点F(－c,0)到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离为＝b，所以S△ABF＝·2c·b＝8，即bc＝8.
由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x.
2．(2019·河南六市第二次联考)已知直线y＝2b与双曲线－＝1(a>0，b>0)的斜率为正的渐近线交于点A，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若tan∠AF2F1＝，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C．4或 D．4
答案 D
解析 由得点A(2a,2b)，所以tan∠AF2F1＝＝.所以4b2＝15(4a2－4ac＋c2)，即4(c2－a2)＝15(4a2－4ac＋c2)，即64a2－60ac＋11c2＝0，所以11e2－60e＋64＝0.解得e＝4或e＝.经检验，当e＝时，tan∠AF2F1＝－，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.
3．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，
由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝·＝＝4，
解得k＝±.综上可知，这样的直线有3条．
4．(2019·成都七中高三上学期入学考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 D
解析 过右焦点F且与渐近线垂直的直线方程为y＝±(x－c)，不妨取直线y＝－(x－c)．设渐近线y＝x与直线y＝－(x－c)的交点为M.
联立解得x＝故点M的坐标为.由中点坐标公式，得点P的坐标为.将其代入双曲线的方程，得－＝1，化简，得c2＝5a2，由此，得e＝＝.
5．已知等腰三角形ABC的底边端点A，B在双曲线－＝1的右支上，顶点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0>.根据题意，得两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，于是x0(x1－x2)－2y0(y1－y2)＝0，即kAB＝＝.又kMC＝，由kMC·kAB＝·＝－1，得x0＋2(x0－t)＝0，即t＝>.
6．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案 12
解析 如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1，可知a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当|AP|＋|PF1|最小时，
△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为
y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.
7．(2020·济南摸底)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是2x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．
答案 3 (－3,5)
解析 因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝ ＝ ＝＝3.又因为双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3，0)．由题意得右焦点F在圆C外，
所以需满足条件
解得－3
1．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，当k为何值时，以线段AB为直径的圆过原点？
解 (1)设双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，则由题意得解得故双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)联立得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0且3－k2≠0，得－
又因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
所以＋1＝0，解得k＝±1.
综上，当k＝±1时，以线段AB为直径的圆过原点．
2．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意，知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝.
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
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