全国统考2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案理含解析打包4套北师大版 学案

1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的　　　　　　　　　叫作逻辑联结词. 

(2)若p表示命题,则¬p是命题的否定,命题的否定只否定命题的　　　　　,而否命题则既否定结论又否定条件. 

(3)命题p且q,p或q,¬p的真假判断

2.全称量词和存在量词

3.全称命题和特称命题

4.含有一个量词的命题的否定

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)若命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题. (　　)

(2)命题“4>6或3>2”是真命题. (　　)

(3)若p且q为真,则p或q必为真;反之,若p或q为真,则p且q必为真. (　　)

(4)“梯形的对角线相等”是特称命题. (　　)

(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”. (　　)

2.(2020山东日照一中月考)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,>2

3.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是(　　)

A.所有偶函数的图像不关于y轴对称

B.存在偶函数的图像关于y轴对称

C.存在偶函数的图像不关于y轴对称

D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称

4.(2020“四省八校”质检三,理3)已知命题p:任意x∈R,ex+e-x>2,命题q:存在x∈R,ln x=-1,则下列判断正确的是(　　)

A.(¬p)且q是真命题

B.p或(¬q)是真命题

C.p且(¬q)是真命题

D.(¬p)或(¬q)是假命题

5.已知命题p:x2-5x+4≤0,q:<1,若(¬q)且p是真命题,则x的取值范围是　　　　　. 

关键能力学案突破　

【例1】(2020全国2,理16)设有下列四个命题:

p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

p4:若直线l⫋平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是　　　　　. 

①p1且p4　②p1且p2　③¬p2或p3　④¬p3或¬p4

思考如何判断含简单逻辑联结词的命题的真假.

解题心得若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“p或q见真即真”“p且q见假即假”“p与¬p真假相反”作出判断即可.

对点训练1已知命题p:任意x∈R,2x<3x;命题q:存在x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.p且q 

B.(¬p)且q

C.p且(¬q) 

D.(¬p)且(¬q)

考向1　全称命题、特称命题真假的判断

【例2】已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(　　)

A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)

B.任意x∈R,f(-x)≠-f(x)

C.存在x∈R,f(-x)≠f(x)

D.存在x∈R,f(-x)≠-f(x)

思考如何判断一个全称命题是真命题?又如何判断一个特称命题是真命题?

解题心得1.判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立.

2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.

对点训练2已知命题p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:任意x∈,sin x<x,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p且q B.p且(¬q)

C.(¬p)且q D.(¬p)且(¬q)

考向2　全(特)称命题的否定

【例3】(1)(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是(　　)

A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根

B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根

C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根

D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根

(2)命题“实数的平方都是正数”的否定是　　　　　. 

思考如何对全(特)称命题进行否定?

解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.

2.常见词语的否定形式:

对点训练3(1)(2020山东淄博4月模拟,2)命题“存在x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是(　　)

A.任意x∈(0,+∞),ln x≠x-1

B.任意x∉(0,+∞),ln x=x-1

C.存在x∈(0,+∞),ln x≠x-1

D.存在x∉(0,+∞),ln x=x-1

(2)命题p:“有些三角形是等腰三角形”,则¬p是 (　　)

A.有些三角形不是等腰三角形

B.有些等腰三角形不是三角形

C.所有三角形都不是等腰三角形

D.所有三角形都是等腰三角形

考向3　由全(特)称命题的真假求参数的范围

【例4】(1)已知命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题q:存在x∈[-2,2],2a≤2x,若命题p且q为真命题,则实数a的取值范围为　　　　　. 

(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　　. 

思考如何依据命题的真假求参数的取值范围?

解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据命题“p或q”“p且q”“¬p”的真假,判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.

对点训练4(1)已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若¬p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) 

B.(1,+∞)

C.(-∞,1) 

D.(-∞,1]

(2)(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“存在x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　　　　. 

1.4　简单的逻辑联结词、

全称量词与存在量词

必备知识·预案自诊

知识梳理

1.(1)“且”“或”“非”　(2)结论　(3)真　真

假　真　假　真　假　假

4.存在x∈M,¬p(x)　任意x∈M,¬p(x)

考点自诊

1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

2.B　A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.

3.C　“偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对称”,根据全称命题否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定结论.所以原命题的否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.

4.A　当x=0时,ex+e-x=2,命题p为假命题;当x=时,lnx=-1,命题q为真命题;则(¬p)且q是真命题,p或(¬q)是假命题,p且(¬q)是假命题,(¬p)或(¬q)是真命题.故选A.

5.[2,3]　若p为真命题,则1≤x≤4;若q为真命题,则x<2或x>3.

∵(¬q)且p为真命题,

∴∴2≤x≤3.

关键能力·学案突破

例1①③④　∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,∴¬p2,¬p3为真命题,

∴p1且p4为真命题,p1且p2为假命题,¬p2或p3为真命题,¬p3或¬p4为真命题.故填①③④.

对点训练1B　由20=30知,p为假命题.∴存在x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知(¬p)且q为真命题.故选B.

例2C　∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴任意x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,

∴存在x∈R,f(-x)≠f(x)为真命题.

对点训练2C　因为当x<0时,>1,即2x>3x,所以命题p为假命题,从而¬p为真命题;因为当x∈时,x>sinx,所以命题q为真命题,所以(¬p)且q为真命题.

例3(1)A　(2)至少有一个实数的平方不是正数　(1)由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是“对任意m>0,方程x2+x-m=0无实根”.故选A.

(2)全称命题的否定是特称命题.“实数的平方都是正数”是全称命题,只是省略了“所有”两字.故其否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.

对点训练3(1)A　(2)C　(1)因为已知的是特称命题,所以它的否定为全称命题,故选A.

(2)因命题p:“有些三角形是等腰三角形”是特称命题,所以¬p为全称命题,由特称命题的否定得命题¬p:“所有三角形都不是等腰三角形”,故选C.

例4(1)　(2)　(1)由题知,命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,即x2+x+a-1>0恒成立,所以Δ=1-4(a-1)<0,解得a>;命题q:存在x∈[-2,2],使得2a≤2x,则a≤2.当p且q为真命题时,须满足故实数a的取值范围为.

(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.故m的取值范围为,+∞.

对点训练4(1)B　(2)[-2,2]　(1)¬p为“方程x2-4x+a=0没有实根”,由¬p为真命题可得Δ=16-4a<0,解得a>4,由¬p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,可得3m+1>4,解得m>1,故选B.

(2)因为命题“存在x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,所以命题“任意x∈R,x2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.故m的取值范围是[-2,2].