2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第9节　函数模型及其应用


第九节　函数模型及其应用
[考纲传真]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
因n而异
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：

[常用结论]
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0]和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．(　　)
(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)
(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是(　　)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
A.y＝2x　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2 x
D　[当x＝0.50时，y＝－0.99，从而排除选项A、C，又当x＝2.01时，y＝0.98，从而排除选项B，故选D.]
3．(教材改编)一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是(　　)
A．70台 B．75台
C．80台 D．85台
B　[由题意可知，利润f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N)
∴当x＝75时，f(x)取到最大，故选B.]
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)
A．减少7.84%　　 B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
A　[设某商品原来价格为a，四年后价格为：
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]
5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
y＝　[由题意可知，当0＜x≤100时，y＝0.5x.
当x＞100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4
＝0.4x＋10.
∴y＝]

用函数图象刻画变化过程

1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为(　　)

A　　 　B　 　 C　 　D
D　[因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．]
2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

A　 　B　　　 C　 　D
B　[因为运输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐增大，故选B.]
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D　[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
[规律方法]　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.


应用所给函数模型解决实际问题

【例1】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
易错警示：(1)解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
(2)利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)
A．3.50分钟　　　 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
(1)B　(2)16　[(1)根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2
＝－＋－2
＝－2＋，
所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，
即最佳加工时间为3.75分钟．
(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.]


构建函数模型解决实际问题

【例2】　某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115.
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.
令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0.
又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，
故y＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.
对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N*)，
当x＝11时，ymax＝270.又∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
[规律方法]　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
B　[设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]

函数模型的选择

【例3】　(2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0,5])
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？
[解]　(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，
故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.
(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.
g(x)＝
＝－
＝－.
因为－≤－2，
当且仅当x＋1＝3，即x＝2时等号成立．
所以明年拓展外销的时间应为6月1号．
[规律方法]　根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：
(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择.
(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＜0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＞0).
(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快.
某商场2018年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为(　　)
A．f(x)＝20×x
B．f(x)＝－6log3 x＋8
C．f(x)＝x2－12x＋19
D．f(x)＝x2－7x＋14
D　[把f(1)＝8，f(3)＝2逐一代入四个选项中，并结合f(x)与x间呈先下降后上升的趋势，不难选出选项D符合．]