第八章　平面解析几何

知识点一　　直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)

(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(　×　)

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)

2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)

A.   B.

C.∪   D.∪

解析：由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.

知识点二　　直线方程

1．直线方程的五种形式

2.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

3．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为(　A　)

A．3x＋4y－14＝0  B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0  D．4x－3y＋14＝0

解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.

4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　D　)

A．1   B．－1

C．－2或－1   D．－2或1

解析：当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，所以在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝，得a＝－2或a＝1.

5．(必修2P100A组第5题改编)一条直线过点A(2，－3)，并且它的斜率等于直线x＋y＝0的斜率的2倍，则这条直线的方程为2x＋y＋3－4＝0.

解析：x＋y＝0的斜率为－，所求直线的斜率为－，代入点斜式方程得y－(－3)＝－(x－2)，整理得：2x＋y＋3－4＝0.

1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．

考向一　　直线的倾斜角与斜率

【例1】　(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________________________________________________．

【解析】　(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2·cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.

(2)如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)

1①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π，斜率的取值范围是R.②正切函数在[0，π不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围.

2第2问求解要注意两点：①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，切莫错误想当然认为－≤k≤1.

(1)平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是∪.

(2)已知线段MN两端点的坐标分别为M(－1,2)和N(2,3)，若直线kx－y＋k－2＝0与线段MN有交点，则实数k的取值范围是.

解析：(1)由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB的倾斜角的取值范围是∪.

(2)直线kx－y＋k－2＝0过定点P(－1，－2)．MP平行于y轴，kNP＝＝，所以k≥.

考向二　　直线方程的求法

【例2】　求适合下列条件的直线的方程：

(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；

(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

【解】　(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝.∴cosα＝±，直线的斜率k＝tanα＝±.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±x－5.

(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)．∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1.

∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

(3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　B　)

A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0

D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0

(2)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为3x＋y＋2＝0.

解析：(1)当直线过原点时，由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为，故直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k(k≠0)，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为＋＝1，把点(5,2)代入可得＋＝1，解得k＝6.故直线的方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.故选B.

(2)由条件可设直线l的方程为3x＋y＋m＝0.解方程组得直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点坐标为(－1,1)．由题意，得3×(－1)＋1＋m＝0，即m＝2.故直线l的方程为3x＋y＋2＝0.

考向三　　直线方程的应用

方向1　最值问题

【例3】　若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．8

【解析】　因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，所以a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．

所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

【答案】　C

方向2　几何性质问题

【例4】　已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y－1＝0和x＋ay＋2＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为________．

【解析】　由两直线垂直，得2－a＝0，所以a＝2，所以P(0,5)．

由2x－y－1＝0和x＋2y＋2＝0，得两直线的交点为Q(0，－1)．

由直角三角形的性质，得线段AB的长为2|PQ|＝12.

【答案】　12

1求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式或函数求解最值；2求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数的性质解决问题.

1．(方向1)已知直线l：＋＝1(a>0，b>0)在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是(　D　)

A．2   B．4

C．6   D．2

解析：直线l：＋＝1(a>0，b>0)在两坐标轴上的截距之和为4，所以a＋b＝4，即4≥2⇒ab≤4⇒ab≤2，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2，故选D.

2．(方向2)(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为3.

解析：因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝tan(θ＋)＝－3.又B(5,0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，

得解得所以点A的横坐标为3.

典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.

【错解展示】　

【现场纠错】　

解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，

直线方程可写为＋＝1，

∴＝a－2，即a＋1＝1.

∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)由＝－(a－2)，得a－2＝0或a＋1＝－1，

∴a＝2或a＝－2.

【纠错心得】　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．