知识点一  圆的方程

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．

2．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

3．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为(－，－)，半径为.

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　D　)

A．(2,3)   B．(－2,3)

C．(－2，－3)   D．(2，－3)

解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．

2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题1＋1＋4m>0，所以m>－.故选A.

3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　C　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4

B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.因为|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.

所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

知识点二 

1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．

解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.

1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．

(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．

(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．

2．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

考向一  求圆的方程

【例1】　(1)(2019·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

【解析】　(1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.

(2)解法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，即圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

解法2：记A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，连接AB，由圆过点A(0,0)，B(2,0)，知AB的垂直平分线x＝1必过圆心．连接BC，又圆过点C(1,1)，BC的中点为(，)，BC所在直线的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y＝x－1，联立，得得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

【答案】　(1)B　(2)x2＋y2－2x＝0

一般来说，求圆的方程有两种方法：1几何法，通过已知条件及圆的性质求出圆的基本量；2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.应用待定系数法求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标和半径，常设为圆的标准方程求解；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常设为圆的一般方程进行求解.

(1)若圆C过点(0，－1)，(0,5)，且圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝9或(x－8)2＋(y－2)2＝73.

(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或(x＋2)2＋(y－2)2＝4.

解析：(1)依题意，设圆心的坐标为(a,2)，圆C的方程为(x－a)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，则解得或故圆C的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x－8)2＋(y－2)2＝73.

(2)由题意可得所求圆的圆心在第一象限或第二象限，当圆心在第一象限时，圆心为(2,2)，半径为2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.当圆心在第二象限时，圆心为(－2,2)，半径为2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.

考向二  与圆有关的最值问题

方向1　与基本不等式有关的最值

【例2】　圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2   B.

C．4   D.

【解析】　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，

∴＋＝(a＋3b)＋

＝≥10＋2＝，

当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.

【答案】　D

方向2　与距离有关的最值

【例3】　(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]   B．[4,8]

C．[，3]   D．[2，3]

【解析】　圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

【答案】　A

方向3　与斜率有关的最值

【例4】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，

此时＝，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．

①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

1．(方向1)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为8.

解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴＋＝(a＋b)＝10＋＋≥×(10＋6)＝8，当且仅当＝，即b＝3a时取等号，所以＋的最小值为8.

2．(方向2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　C　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：解法1：由已知得点P在圆x2＋y2＝1上运动，d的最大值为圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离与圆x2＋y2＝1的半径之和，即dmax＝＋1≤3(当且仅当m＝0时取“＝”)．∴当θ，m变化时d的最大值为3.

解法2：由题意可得

d＝＝

＝

＝(其中cosφ＝，sinφ＝)，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，

∴≤d≤，

＝1＋，∴当m＝0时，d取最大值3，故选C.

3．(方向3)若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则的取值范围为(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：将原方程，整理得(x－1)2＋(y－1)2＝1，表示的是圆上的点和点(2,4)之间的连线的斜率，设＝k，即kx－y－2k＋4＝0，则由≤1，解得k≥，故选B.

考向三  与圆有关的轨迹问题

【例5】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解】　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法

(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；

(2)定义法：根据圆的定义写出方程；

(3)几何法：利用圆的性质列方程；

(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

(1)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　D　)

A．8x－6y－21＝0  B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0  D．6x－8y－21＝0

(2)已知点A(1,0)和圆C：x2＋y2＝4上一点P，动点Q满足＝2，则点Q的轨迹方程为(　D　)

A.2＋y2＝1   B．x2＋2＝1

C．x2＋2＝1   D.2＋y2＝1

解析：(1)由题意得＝|PO|，所以(x－3)2＋(y＋4)2－4＝x2＋y2，即6x－8y－21＝0，故选D.

(2)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由＝2，得x0＝－2x＋3，y0＝－2y，代入圆的方程，得2＋y2＝1.