2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用





一、基础知识批注——理解深一点

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ


2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0

0
－A
0


3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．

二、基础小题强化——功底牢一点


(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)函数y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　　)
(5)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

(二)选一选
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移1个单位长度　 　B．向右平移1个单位长度
C．向左平移π个单位长度 D．向右平移π个单位长度
解析：选A　因为由y＝sin x到y＝sin(x＋1)，只是横坐标由x变为x＋1，所以要得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度．
2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　　 　B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
3．函数y＝cos x|tan x|的图象为(　　)

解析：选C　由题意知y＝
结合图象知选C.

(三)填一填
4．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：　　　　
5．若函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则φ＝________.

解析：由图象可知，函数的周期为4＝4π，所以ω＝＝，将代入y＝sin，得－φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－－2kπ，k∈Z，又∵|φ|≤，∴φ＝－.
答案：－



考点一　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

[典例]　(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
[解析]　(1)由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)依题意得 ＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.
[答案]　(1)B　(2)sin

[解题技法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种


代入法
把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入
五点法
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口

[题组训练]
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 　B．－
C．－ D．－1
解析：选D　由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.由f＝sin＝－，|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－1.
2.(2018·咸阳三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选D　由图象可得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，
所以ω＝＝＝.
所以f(x)＝2sin.
由函数的对称性得f(2)＝－2，
即f(2)＝2sin＝－2，
即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－.
故函数的解析式为f(x)＝2sin.

考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换

[典例]　(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
[答案]　D

[解题技法]　三角函数图象变换中的3个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换
量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．

[题组训练]
1．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin　　　 　B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选B　将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
2．(2019·潍坊统一考试)函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.



[典例]　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．
[解析]　作出函数f(x)的简图如图所示，


三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元．
[答案]　6 000


[解题技法]
三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

[题组训练]
1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　　　　　　　　 　B．6
C．8 D．10
解析：选C　设水深的最大值为M，由题意并结合函数图象可得解得M＝8.
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析：由题意得即所以y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝20.5.
答案：20.5


A级——保大分专练

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　 　B.
C．1 D.
解析：选D　由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
3．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
解析：选A　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．

4.(2019·贵阳检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
5.(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.
6．(2018·山西大同质量检测)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选B　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6.
7．已知函数f(x)＝2sin 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，最小正周期T为__________，频率为___________，初相φ为___________．
解析：振幅A＝2，最小正周期T＝＝6，频率f＝.
因为图象过点(0,1)，
所以2sin φ＝1，所以sin φ＝，
又因为|φ|＜，所以φ＝.
答案：2　6　　
8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.
解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
答案：2sin
9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)向左平移半个周期得g(x)的图象，若g(x)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围是________．
解析：由题意，得g(x)＝sin
＝sin＝sin，
由x∈[0，π]，得ωx－∈.
因为g(x)在[0，π]上的值域为，
所以≤ωπ－≤，解得≤ω≤.
故ω的取值范围是.
答案：
10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5

选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以sin＝0，
故＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，
所以y＝sin＋6＝－cosx＋6.
答案：y＝－cosx＋6
11．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.

(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
又因为f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos.
列表：
2x－
－
0

π


x
0




π
f(x)

1
0
－1
0

描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

12．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y＝f(x)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，
又∵sin＝1，|φ|<，
∴φ＝－，f(x)＝sin，
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得
y＝sin＝sin，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝sin.
∴g(x)＝sin.
(2)∵x∈，∴4x＋∈，
当4x＋＝时，x＝，
∴g(x)在上为增函数，在上为减函数，
所以g(x)max＝g＝1，
又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，
故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－.
B级——创高分自选
1．(2019·惠州调研)函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数

解析：选B　由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又∵|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增．所以选项B正确．
2．(2019·福州四校联考)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数ω的值为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选C　因为将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sin，又因为函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以g＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2.
3.(2018·南昌模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，
因为|φ|<，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1,1]，
记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1,1]，
所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.
故a的取值范围为.