2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第23讲正弦定理和余弦定理

第23讲　正弦定理和余弦定理


1.正弦定理和余弦定理

定理
正弦定理
余弦定理
公式
=　　　　　=　　　　　=2R(其中R是△ABC的外接圆的半径) 
a2=　　　　　　　, 
b2=　　　　　　　, 
c2=　　　　　　 
定理
的变
形
a=2Rsin A,b=　　　　　,c=　　　　　,a∶b∶c= 
　　　　　　　　　　　 　 
cos A=　　　　　, 
cos B=　　　　　, 
cos C=　　　　 

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:


A为锐角
A为钝角
或直角
图形




关系式
a=bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的个数
　　　 
　　　 
　　　 
　　　 

3.三角形面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高);
(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

常用结论
1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
变形:=-.
2.三角形中的三角函数关系:
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;(4)cos =sin .
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.


题组一　常识题
1.[教材改编] 在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于　　　　. 

2.[教材改编] 在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c=　　　　. 
3.[教材改编] 在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于　　　　. 
4.[教材改编] 在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应
关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.
5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为　　　　;若sin A>sin B,则A,B的关系为　　　　. 
6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于　　　　. 
7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=　　　　,△ABC的面积等于　　　　. 
8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则△ABC为　　　　三角形. 

探究点一　利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,且b2+c2=3+bc.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求角A的大小;
(2)求bsin C的最大值.
 
 
 
[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
变式题 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=,则C= (　　)
A. B.
C.或 D.
(2)[2018·衡水中学月考] 已知△ABC满足BC·AC=2,若C=,=,则AB=　　　　. 
探究点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例2 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
 
 
 
[总结反思] 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若=,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形或等腰三角形
探究点三　与三角形面积有关的问题
例3 [2018·洛阳三模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A.
(1)求角A的大小;
(2)若sin Bsin C=,且△ABC的面积为2,求a.
 
 
 
[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.
变式题 [2018·黄冈中学月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.
(1)求△ABC的面积;
(2)若cos Bcos C=,求△ABC的周长.
 
 
 






第23讲　正弦定理和余弦定理
考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.
2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.　　b2+c2-2bccos A　c2+a2-2accos B　a2+b2-2abcos C　2Rsin B　2Rsin C　sin A∶sin B∶sin C　　　
2.一解　两解　一解　一解
对点演练
1.　[解析] 易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=,得=,解得b=.
2.　[解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+(2)2-2×5×2cos 30°=7,所以c=.
3.60°　[解析] 因为cos C==,所以C=60°.
4.4　[解析] 因为sin C==,所以△ABC的面积S=absin C=4.
5.A=B　A>B　[解析] 根据正弦定理知,在△ABC中有sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
6.45°　[解析] 由正弦定理知=,则sin B===.又a>b,所以A>B,所以B为锐角,故B=45°.
7.　　[解析] 易知c==,△ABC的面积等于×2×3×=.
8.直角　[解析] ∵ccos A=b,∴由正弦定理得sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
整理得sin Acos C=0,
∵sin A≠0,
∴cos C=0,即C=90°,则△ABC为直角三角形.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin C表示为关于C的三角函数,再结合C的取值范围求最大值.
解:(1)由a=,b2+c2=3+bc,得==,
即cos A=,又∵A∈(0,π),∴A=.
(2)由正弦定理,得b=sin B=2sin B,
∴bsin C=2sin Csin B=2sin Csin=2sin C=sin2C+sin Ccos C=sin 2C-cos 2C+=sin+.∵0 ∴当sin=1,即C=时,bsin C取得最大值.
变式题　(1)B　(2)　[解析] (1)由1+=得1+=,
整理得sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A,
所以sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,所以cos A=.
又因为A∈(0,π),所以sin A=.
由正弦定理=,得sin C==,所以C=.故选B.
(2)由正弦定理可得=,因为A+B+C=π,所以cos(A+B)=-cos C,
则由已知条件可知=-=,又BC·AC=2,
可得BC=,AC=2,由余弦定理得AB===.
例2　[思路点拨] 由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得A=,由sin B·sin C=sin2A及正弦定理可得bc=a2,结合b2+c2=a2+bc可得b=c.
C　[解析] 在△ABC中,∵b2+c2=a2+bc,∴cos A===.
又∵A∈(0,π),∴A=.
∵sin B·sin C=sin2A,∴bc=a2.
又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,∴b=c,
∴△ABC的形状是等边三角形.故选C.
变式题　D　[解析] 由条件可得=,
由正弦定理可得=,
整理可得acos A=bcos B,
所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,
所以A=B或A+B=,
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
例3　[思路点拨] (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角A的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解a.
解:(1)由bsin B+(c-b)sin C=asin A及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理得cos A==,又∵A∈(0,π),∴A=.
(2)由正弦定理==,可得b=,c=,
∴S△ABC=bcsin A=···sin A==2,
又sin Bsin C=,sin A=,∴a2=2,∴a=4.
变式题　解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,∴cos A=,又∵A∈(0°,180°),∴sin A=,
∴S△ABC=bcsin A=.
(2)∵cos A=-cos(B+C)=,∴sin Bsin C-cos Bcos C=,
又cos Bcos C=,∴sin Bsin C=.
由正弦定理得==,∴a=1,
∴b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.
又∵b2+c2-a2=1,∴b+c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2=3.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题.
例1　[配合例1使用] [2018·莆田六中月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).
(1)求角B的大小;
(2)若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,且BM=BC,=2,求AM的值.
解:(1)∵c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a),∴由正弦定理得c2-ca=b2-a2,
∴a2+c2-b2=ca,∴cos B==,又0 (2)设BM=x,则BN=2x,AN=2x,
又B=,AB=8,∴在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos,解得x=2(负值舍去),即BM=2,
∴在△ABM中,由余弦定理得AM====2.
例2　[配合例2使用] 已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且cos2=+,则△ABC为 (　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
[解析] B　∵cos2=+,
∴=+,即cos A=,
∴=,则c2=a2+b2,
故△ABC为直角三角形,故选B.
例3　[配合例3使用] [2018·三明一中月考] 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,CB=2,△ACD为正三角形,则△BCD的面积的最大值为　　　　. 

[答案] 1+
[解析] 在△ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,
由余弦定理可知AC2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α.
∵△ACD为正三角形,∴CD2=5-4cos α,
由正弦定理得=,
∴AC·sin β=sin α,∴CD·sin β=sin α.
∵(CD·cos β)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α
=5-4cos α-sin2α=(2-cos α)2,β<∠BAC,
∴β为锐角,CD·cos β=2-cos α,

∴S△BCD=×2·CDsin=CDsin=CD·cos β+CD·sin β=×(2-cos α)+sin α=+sin,
∴当α=时,△BCD的面积最大,最大值为1+.
例4　[配合例3使用] [2018·三明一中月考] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且△ABC的面积为c(asin A+bsin B-csin C).
(1)求角C的大小;
(2)若D为AB的中点,且c=2,求CD的最大值.
解:(1)依题意得,absin C=c(asin A+bsin B-csin C),
由正弦定理得,abc=c(a2+b2-c2),即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得,cos C===,
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)在△ACD中,
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即b2=1+CD2-2CDcos∠ADC,
在△BCD中,
BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,即a2=1+CD2-2CDcos∠BDC.
因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=-cos∠BDC,所以CD2=(a2+b2)-1.
由(1)及c=2得,a2+b2-4=ab≤(a2+b2),当且仅当a=b=2时,等号成立,
所以(a2+b2)≤4,所以CD2=(a2+b2)-1≤3,即CD≤,
所以CD的最大值为.