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2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第1讲集合
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第1讲 集合
1.元素与集合
(1)集合元素的性质: 、 、无序性.
(2)集合与元素的关系:①属于,记为 ;②不属于,记为 .
(3)集合的表示方法:列举法、 和 .
(4)常见数集及记法
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
2.集合间的基本关系
文字语言
符号语言
记法
基本
关系
子集
集合A中的 都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或
集合A是集合B的子集,但集合B中 有一个元素不属于A
A⊆B,∃x0∈
B,x0∉A
A
B或
B⫌ A
相等
集合A,B的元素完全
A⊆B,B⊆A
空集
任何元素的集合,空集是任何集合的子集
∀x,x∉⌀,
⌀⊆A
⌀
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A 属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}
并集
属于A
属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}
补集
全集U中 属于A的元素组成的集合
{x|x∈U,
x A}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.
(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.
(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)= ;
∁U(∁UA)= ;∁U(A∪B)=(∁UA) (∁UB);∁U(A∩B)= ∪ .
常用结论
(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.
(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;
②任何一个集合是它本身的子集;
③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);
④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.
(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为 .
2.[教材改编] 已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有 个.
3.[教材改编] 设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁UA)∪B= .
4.[教材改编] 已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.
5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .
6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是 .
7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是 .
8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1
探究点一 集合的含义与表示
例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ( )
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为 .
[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是 ( )
A.-1∉A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34∉A
(2)[2018·上海黄浦区二模] 已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是 .
探究点二 集合间的基本关系
例2 (1)[2018·武汉4月调研] 已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为 ( )
A.{1} B.{-1,1}
C.{1,0} D.{1,-1,0}
(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是 ( )
A.M=N B.M⫋N
C.N⫋M D.M∈N
[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.
变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为 ( )
A.A⫋B B.B⫋A
C.A=B D.A∩B=⌀
(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是 .
探究点三 集合的基本运算
角度1 集合的运算
例3 (1)[2018·长沙周南中学月考] 已知集合A={x|x<1},B={x|ex<1},则 ( )
A.A∩B={x|x<1}
B.A∪B={x|x
D.(∁RA)∩B={x|0
A.{x|x
[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.
角度2 利用集合运算求参数
例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是( )
A.[3,6) B.[1,2)
C.[2,4) D.(2,4]
(2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁UA)∩B=⌀,则p应该满足的条件是 ( )
A.p>1 B.p≥1
C.p<1 D.p≤1
[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.
角度3 集合语言的运用
例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ( )
A.16 B.17 C.18 D.20
(2)对于a,b∈N,规定a*b=集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为 .
[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:
(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.
(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.
第1讲 集合
考试说明 1.集合的含义与表示:
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系:
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算:
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)确定性 互异性 (2)∈ ∉ (3)描述法 图示法 (4)N N*或N+ Z Q R
2.任意一个元素 B⊇A 至少 ⫋ 相同 A=B 不含
3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不 ∉ ∁UA
4.(1)B∪A A (2)⊆ (3)⌀ A ∩ (∁UA) (∁UB)
对点演练
1.4或1 [解析] 因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.
2.4 [解析] 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.
3.(-∞,0)∪[1,+∞) [解析] 因为∁UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁UA)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).
4.1 [解析] 由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.
5.0或3 [解析] 因为B⊆A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.
6.4 [解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4个元素.
7.0或1或-1 [解析] 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.
8.2≤a≤4 [解析] 由|x-a|<1得-1
例1 [思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.
(1)A (2)-3 [解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.
(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.
若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.
综上所述,a=-3.
变式题 (1)C (2)2 [解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.
(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;
若3-m=1,则m=2,符合题意;
若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.
例2 [思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.
(1)D (2)A [解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,
∴当a=0时,N=⌀,成立;
当a≠0时,N=,则=-1或=1,
解得a=-1或a=1.
综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.
(2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},
N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.
变式题 (1)B (2)a<-或a>1 [解析] (1)由题意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以B⫋A.故选B.
(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-,满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.
例3 [思路点拨] (1)先求出∁RA,∁RB,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.
(1)C (2)A [解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0},
∴∁RB={x|x≥0},∁RA={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;
A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁RB)=R,故C正确;(∁RA)∩B=⌀,故D错误.故选C.
(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0
(1)C (2)B [解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=,∵A∩B中有三个元素,∴1≤<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).
(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},
∴∁UA={x|x≤1},又(∁UA)∩B=⌀,∴p≥1.
例5 [思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.
(1)D (2)41 [解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).
(2)由a*b=36,a,b∈N*知,
若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;
若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,
故点(a,b)有35个.
所以M中的元素个数为41.
【备选理由】 例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.
例1 [配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模] 已知集合M={x|y=(-x2+2x+3,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ( )
A.M∩Q=⌀ B.M∪Q=Z
C.M∪Q=Q D.M∩Q=Q
[解析] C 由-x2+2x+3>0,得-1
∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.
例2 [配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟] 已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为 ( )
A.3 B.4
C.7 D.8
[解析] D ∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},
B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.
例3 [配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B= ( )
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3)∪[3,+∞)
[解析] C 由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.
由-x-3>0,得x<-3,
所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.
例4 [配合例4使用] 已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞)
B.[-1,2]
C.[-2,1]
D.[2,+∞)
[解析] C 要使函数y=有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.
若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].
第1讲 集合
1.元素与集合
(1)集合元素的性质: 、 、无序性.
(2)集合与元素的关系:①属于,记为 ;②不属于,记为 .
(3)集合的表示方法:列举法、 和 .
(4)常见数集及记法
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
2.集合间的基本关系
文字语言
符号语言
记法
基本
关系
子集
集合A中的 都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或
集合A是集合B的子集,但集合B中 有一个元素不属于A
A⊆B,∃x0∈
B,x0∉A
A
B或
B⫌ A
相等
集合A,B的元素完全
A⊆B,B⊆A
空集
任何元素的集合,空集是任何集合的子集
∀x,x∉⌀,
⌀⊆A
⌀
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A 属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}
并集
属于A
属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}
补集
全集U中 属于A的元素组成的集合
{x|x∈U,
x A}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.
(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.
(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)= ;
∁U(∁UA)= ;∁U(A∪B)=(∁UA) (∁UB);∁U(A∩B)= ∪ .
常用结论
(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.
(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;
②任何一个集合是它本身的子集;
③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);
④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.
(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为 .
2.[教材改编] 已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有 个.
3.[教材改编] 设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁UA)∪B= .
4.[教材改编] 已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.
5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .
6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是 .
7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是 .
8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1
探究点一 集合的含义与表示
例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ( )
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为 .
[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是 ( )
A.-1∉A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34∉A
(2)[2018·上海黄浦区二模] 已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是 .
探究点二 集合间的基本关系
例2 (1)[2018·武汉4月调研] 已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为 ( )
A.{1} B.{-1,1}
C.{1,0} D.{1,-1,0}
(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是 ( )
A.M=N B.M⫋N
C.N⫋M D.M∈N
[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.
变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为 ( )
A.A⫋B B.B⫋A
C.A=B D.A∩B=⌀
(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是 .
探究点三 集合的基本运算
角度1 集合的运算
例3 (1)[2018·长沙周南中学月考] 已知集合A={x|x<1},B={x|ex<1},则 ( )
A.A∩B={x|x<1}
B.A∪B={x|x
D.(∁RA)∩B={x|0
A.{x|x
[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.
角度2 利用集合运算求参数
例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是( )
A.[3,6) B.[1,2)
C.[2,4) D.(2,4]
(2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁UA)∩B=⌀,则p应该满足的条件是 ( )
A.p>1 B.p≥1
C.p<1 D.p≤1
[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.
角度3 集合语言的运用
例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ( )
A.16 B.17 C.18 D.20
(2)对于a,b∈N,规定a*b=集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为 .
[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:
(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.
(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.
第1讲 集合
考试说明 1.集合的含义与表示:
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系:
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算:
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)确定性 互异性 (2)∈ ∉ (3)描述法 图示法 (4)N N*或N+ Z Q R
2.任意一个元素 B⊇A 至少 ⫋ 相同 A=B 不含
3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不 ∉ ∁UA
4.(1)B∪A A (2)⊆ (3)⌀ A ∩ (∁UA) (∁UB)
对点演练
1.4或1 [解析] 因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.
2.4 [解析] 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.
3.(-∞,0)∪[1,+∞) [解析] 因为∁UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁UA)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).
4.1 [解析] 由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.
5.0或3 [解析] 因为B⊆A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.
6.4 [解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4个元素.
7.0或1或-1 [解析] 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.
8.2≤a≤4 [解析] 由|x-a|<1得-1
例1 [思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.
(1)A (2)-3 [解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.
(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.
若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.
综上所述,a=-3.
变式题 (1)C (2)2 [解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.
(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;
若3-m=1,则m=2,符合题意;
若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.
例2 [思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.
(1)D (2)A [解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,
∴当a=0时,N=⌀,成立;
当a≠0时,N=,则=-1或=1,
解得a=-1或a=1.
综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.
(2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},
N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.
变式题 (1)B (2)a<-或a>1 [解析] (1)由题意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以B⫋A.故选B.
(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-,满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.
例3 [思路点拨] (1)先求出∁RA,∁RB,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.
(1)C (2)A [解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0},
∴∁RB={x|x≥0},∁RA={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;
A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁RB)=R,故C正确;(∁RA)∩B=⌀,故D错误.故选C.
(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0
(1)C (2)B [解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=,∵A∩B中有三个元素,∴1≤<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).
(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},
∴∁UA={x|x≤1},又(∁UA)∩B=⌀,∴p≥1.
例5 [思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.
(1)D (2)41 [解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).
(2)由a*b=36,a,b∈N*知,
若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;
若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,
故点(a,b)有35个.
所以M中的元素个数为41.
【备选理由】 例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.
例1 [配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模] 已知集合M={x|y=(-x2+2x+3,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ( )
A.M∩Q=⌀ B.M∪Q=Z
C.M∪Q=Q D.M∩Q=Q
[解析] C 由-x2+2x+3>0,得-1
∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.
例2 [配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟] 已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为 ( )
A.3 B.4
C.7 D.8
[解析] D ∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},
B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.
例3 [配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B= ( )
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3)∪[3,+∞)
[解析] C 由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.
由-x-3>0,得x<-3,
所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.
例4 [配合例4使用] 已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞)
B.[-1,2]
C.[-2,1]
D.[2,+∞)
[解析] C 要使函数y=有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.
若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].
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