2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第15讲导数与函数的极值

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第15讲　导数与函数的极值、最值

1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　　　为函数的最小值,　　　　为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则　　　　为函数的最大值,　　　　为函数的最小值.
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.

常用结论
导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D,f(x)>M
∀x∈D,f(x)min>M
∀x∈D,f(x) ∀x∈D,f(x)max ∃x0∈D,f(x0)>M
∀x∈D,f(x)max>M
∃x0∈D,f(x0) ∀x∈D,f(x)min ∀x∈D,f(x)>g(x)
∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0
∀x∈D,f(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)max

(续表)
不等式类型
与最值的关系
∀x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)min
∃x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)max
∃x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)min
(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)

题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为　　　　.
2.[教材改编] 函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是　　　　.
3.[教材改编] 当x>0时,ln x,x,ex的大小关系是　　　　　　.
4.[教材改编] 现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是　　　　.
题组二　常错题
◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.
5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=　　　　.
6.函数g(x)=-x2的极值点是　　　　,函数f(x)=(x-1)3的极值点　　　　(填“存在”或“不存在”).
7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是　　　　,在(1,2)上的最小值和最大值均　　　　(填“存在”或“不存在”).
8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是　　　　.

探究点一　利用导数解决函数的极值问题

微点1　由图像判断函数极值
例1 [2018·杭州二中模拟] 如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 (　　)

图2-15-1
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点

[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2　已知函数求极值
例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0

[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
微点3　已知极值求参数
例3 [2018·江西九校二联] 若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.∪

[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).
应用演练
1.【微点1】[2018·河南中原名校质检] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是 (　　)
①f(b)>f(a)>f(c);

图2-15-2
②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;
③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.
A.③
B.①②
C.①③
D.②
2.【微点3】函数f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
3.【微点2】[2018·安庆二模] 已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为(　　)
A.2e-1 B.-
C.1 D.2ln 2
4.【微点3】[2018·菏泽模拟] 已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.(-∞,-9)
探究点二　利用导数解决函数的最值问题
例4 已知定义在正实数集上的函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)若函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)≤0恒成立,求实数a的最小值;
(2)若a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.

[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.
(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题 (1)已知a≥+ln x对任意x∈恒成立,则a的最小值为 (　　)
A.1 B.e-2 C. D.0
(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a= (　　)
A. B. C.e D.e2
探究点三　利用导数研究生活中的优化问题
例5 [2018·南京四校联考] 如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着,修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为,上的动点,EF∥AB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.

图2-15-3
(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?
(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.

[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.
变式题某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)
(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.

第15讲　导数与函数的极值、最值
考试说明 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2.会利用导数解决某些实际问题.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)f'(x)<0　f'(x)>0　(2)f'(x)>0　f'(x)<0
2.(2)f(a)　f(b)　f(a)　f(b)
对点演练
1.-3　[解析] f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.易知当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3.
2.16　[解析] 由f'(x)=3x2-12=0,得x=±2,易知x=-2为函数f(x)的极大值点,故函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值f(x)max=max{f(-2),f(3)}=max{16,-9}=16.
3.ln x 4.a3　[解析] 容积V=(a-2x)2x,0 5.-7　[解析] f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得即解得或经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,所以不符合题意,舍去.当a=4,b=-11时,符合题意,所以a+b=-7.
6.0　不存在　[解析] 结合函数图像可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0,所以f'(x)=0无变号零点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
7.1,4　不存在　[解析] 根据函数的单调性及最值的定义可得.
8.[1,+∞)　[-1,+∞)　[解析] 对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立⇒(sin x)max≤a,即a≥1.存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立⇒(sin x)min≤a,即a≥-1.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] 先求h'(x0)的值,并结合图像判断x=x0是否为h(x)的极大值点或极小值点.
B　[解析] 由题设有g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0),
故h(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),
所以h'(x)=f'(x)-f'(x0),所以h'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0.
结合图像可知,当xx0时,有h'(x)>0,h(x)为增函数,
所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.
例2　[思路点拨] 先根据极值的定义求得a的值,再根据导数符号的变化规律确定极值.
A　[解析] ∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f'(1)=0,即a+=0,∴a=-1,
∴f'(x)=-1+=,
∴当x>1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值f(1)=-1,故选A.
例3　[思路点拨] 函数f(x)有两个极值点,等价于f'(x)=0有两个根,换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系及判别式建立不等式(组)求解即可.
B　[解析] ∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,
∴f'(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.
∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,
∴f'(x)=0有两个根.
设t=ex>0,则关于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有两个正根,
可得解得1 即实数a的取值范围是,故选B.
应用演练
1.A　[解析] 由导函数的图像可知,在(-∞,c)与(e,+∞)上,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,c)与(e,+∞)上单调递增;在(c,e)上,f'(x)<0,所以函数f(x)在(c,e)上单调递减.所以f(c)>f(a),①错误;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,②错误,③正确.故选A.
2.D　[解析] f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x-=.因为f(x)在(0,+∞)上不存在极值点,所以2x2=a无正实数根,因为2x2>0,所以a≤0,故选D.
3.D　[解析] ∵f'(x)=-,∴f'(e)=-,∴f'(e)=,∴f(x)=2ln x-,f'(x)=-.由f'(x)=0,得x=2e,∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选D.
4.B　[解析] f'(x)=3x2-a.
当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)无极值.
当a>0时,易得f(x)在x=-处取得极大值,则有f=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,则g'(x)=3x2+(m-3).
当m-3≥0时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.
当m-3<0时,易知g(x)在x=处取得极小值,
依题意有解得-9 例4　[思路点拨] (1)分离参数,转化为函数的最值问题求解;(2)对a分类讨论来求解.
解:(1)g(x)=ln x-(a+2)x+1,
由题意得a+2≥恒成立.
设h(x)=(x>0),则h'(x)==,
所以当00,h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
因此h(x)max=h(1)=1,所以a+2≥1,可得a≥-1,
所以实数a的最小值为-1.
(2)f'(x)=2ax-(a+2)+=(x>0,a>0),由f'(x)=0,得x=或x=.
当a≥1时,≤1,因为x∈[1,e],所以f'(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)min=f(1)=-2,符合题意;
当 f(x)min=f 当0 综上,实数a的取值范围是[1,+∞).
变式题　(1)B　(2)A　[解析] (1)令f(x)=+ln x,则f'(x)=-+,可得函数f(x)在上单调递减,在[1,e]上单调递增,又f(e)= (2)由f(x)=,得f'(x)==.
令g(x)=ex+ax+a,则g'(x)=ex+a>0,
则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
又g(-1)=>0,x→-∞时,g(x)→-∞,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,
即+ax0+a=0①,所以f'(x0)=0,
所以函数f(x)在(-∞,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,
则f(x)的最小值为f(x0)==-1,即x0=--a②.
联立①②,可得x0=-2.
把x0=-2代入①,可得a=,故选A.
例5　[思路点拨] (1)设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则阴影部分的面积为矩形AO1O2B的面积减去三部分的面积,这三部分分别为梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)设∠AO1E=θ,θ∈,将修建费用表示为θ的函数,即可利用导数求最小值.
解:(1)如图所示,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则ME=20米,O1M=20米.

梯形O1O2FE的面积为×(120+80)×20=2000(平方米),
矩形AO1O2B的面积为120×40=4800(平方米),
易得∠AO1E=,则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为××1600=(平方米),

故阴影部分的面积为4800-2000-平方米.
(2)设∠AO1E=θ,θ∈,则与的长都是40θ,
EF=120-2×40sin θ=120-80sin θ,
所以修建费用f(θ)=200×80θ+400×(120-80sin θ)=16 000(θ+3-2sin θ),
所以f'(θ)=16 000(1-2cos θ).
令f'(θ)=0,得θ=,
当θ变化时,f'(θ),f(θ)的变化情况如下表:
θ

f'(θ)
-
0
+
f(θ)
↘
极小值
↗
由上表可得,当θ=,即∠AO1E=时,f(θ)有极小值,也为最小值.
故当∠AO1E为时,修建费用最低.
变式题　解:(1)若商品单价降低x元,则一个星期增加的销售量为kx2件,
由已知条件得k·22=24,解得k=6,
则f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].
(2)由(1)知f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
令f'(x)=0,解得x=2或x=12.
当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f'(x)

-
0
+
0
-

f(x)
9072
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
∴当x=12时,f(x)取得极大值;当x=2时,f(x)取得极小值.
∵f(0)=9072,f(12)=11 664,
∴当x=12时,f(x)max=11 664,
故定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】例1主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数极值的个数;例2是已知极值点的个数求参数取值范围,并考查了化归与转化思想及计算能力,属于中档题;例3的两问都是利用导数解决函数的最值问题,而对于不等式恒成立问题要善于转化为函数的最值问题;例4为利用导数研究生活中的优化问题.
例1　[配合例2使用] [2018·丹东二模] 设f(x)=x2-x+cos(1-x),则函数f(x) (　　)
A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值 D.没有极值
[解析] A　由f(x)=x2-x+cos(1-x),得f'(x)=x-1+sin(1-x).
设g(x)=x-1+sin(1-x),则g'(x)=1-cos(1-x)≥0,即g(x)为增函数,
又g(1)=0,
所以当x∈(-∞,1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.
又f'(1)=0,
所以函数f(x)有且仅有一个极小值f(1).
故选A.
例2　[配合例3使用] 若函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
[答案] - [解析] f(x)=xln x+ax2(x>0),f'(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,因为函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,所以g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根.g'(x)=+2a=,
当a≥0时,g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根,应舍去.
当a<0时,
由g'(x)>0,得0 由g'(x)<0,得x>-,此时函数g(x)单调递减.
所以当x=-时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根,
则g=ln>0,可得- 故实数a的取值范围是- 例3　[配合例4使用] [2018·三明5月质检] 已知函数f(x)=(x-4)ex-2+mx(m∈R).
(1)当x>2时,f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>2)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
解:(1)因为f(x)=(x-4)ex-2+mx≥0对任意x∈(2,+∞)恒成立,
所以ex-2≥-m对任意x∈(2,+∞)恒成立.设φ(x)=ex-2=ex-2,则φ'(x)=ex-2=ex-2≥0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,
所以φ(x)>φ(2)=-1,则由题意得-m≤-1,即m≥1,
所以实数m的取值范围为[1,+∞).
(2)对g(x)=(x>2)求导,得g'(x)==(x>2).
记F(x)=ex-2+a(x>2),
由(1)知F(x)在区间(2,+∞)上单调递增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a≥0,
所以存在唯一正实数x0∈(2,4],使得F(x0)=+a=0.
所以当x∈(2,x0)时,F(x)<0,g'(x)<0,函数g(x)在区间(2,x0)上单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,F(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=,
由题设得h(a)=.
又因为-a=,所以h(a)=.
令u(x)=ex-2(20,函数u(x)在区间(2,4]上单调递增,
所以u(2) 即函数h(a)的值域为.
例4　[配合例5使用] 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?

解:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6,
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3),
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0 因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,
所以+h2=36,即a2=2(36-h2).
于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0
从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).
令V'=0,得h=2或h=-2(舍).
当00,V是增函数;

当2 故当h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.