2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数



第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.  
(2)分类:按旋转方向分为　　　　、　　　　和零角;按终边位置分为　　　　和轴线角. 
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=　.  
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于　　　　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.  
(2)公式:

角α的弧度数的绝对值
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°= rad,②1 rad=°
弧长公式
弧长l=　　　 
扇形面积公式
S=lr=|α|r2

3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=(x≠0). 
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的　　　　　、　　　　　和　　　　　. 

(Ⅰ)　　　　　　 (Ⅱ)

(Ⅲ)　　　　　　 (Ⅳ)
图3-17-1

常用结论
象限角与轴线角
(1)象限角

(2)轴线角



题组一　常识题
1.[教材改编] 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是　　　　　　　　　. 
2.[教材改编] (1)67°30'=　　　　rad;(2)= 　　　　°. 
3.[教材改编] 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是　　　　. 
4.[教材改编] 若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
5.在△ABC中,若sin A=,则A=　　　　. 
6.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sin β=,则y=　　　　. 
7.当α为第二象限角时,-的值是　　　　. 
8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为　　　　cm2. 

探究点一　角的集合表示及象限角的判定
例1 (1)[2018·长春一模] 若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的所有取值的集合是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.αα=2kπ-,k∈Z
B.
C.
D.
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
图3-17-2
 
 
 
[总结反思] (1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同;
(2)要求角β所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限.
变式题 (1)设集合M=,N=,那么 (　　)
A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M D.M∩N=⌀
(2)若角α的终边在x轴的上方,则是第　　　　象限角. 

探究点二　扇形的弧长、面积公式
例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是　　　　. 
(2)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为π,则此扇形的面积为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 应用弧度制解决问题的策略:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
变式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 (　　)
A. B.
C.- D.-
(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是　　　　. 
探究点三　三角函数的定义
角度1　三角函数定义的应用
例3 (1)[2018·济南二模] 已知角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,则sin α+cos α等于 (　　)
A.- B.±
C.- D.±
(2)[2018·北京通州区三模] 在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点,则sin α=　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 三角函数的定义主要应用于两方面:
(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
角度2　三角函数值的符号判定
例4 (1)若sin θ·cos θ<0,>0,则角θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α为第二象限角,则cos 2α,cos,,中,其值必为正的有 (　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
 
 
 
[总结反思] 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
角度3　三角函数线的应用
例5 [2018·嘉兴模拟] 已知α∈,a=sin α,b=cos α,c=tan α,那么a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b

 
 
 
[总结反思] 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
变式题 函数f(x)=+lnsin x-的定义域为　　　　　　　　　　　. 










第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试说明 1.任意角、弧度制
(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.
(2)能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)端点　(2)正角　负角　象限角　(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1)半径长　(2)|α|r
3.(1)y　x　(2)余弦线　正弦线　正切线
对点演练
1.{α|α=k·360°+45°,k∈Z}　[解析] 终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
2.(1)π　(2)15　[解析] (1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.
3.1.2　[解析] 根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.
4.　[解析] r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.
5.或π　[解析] 因为0 6.　[解析] 因为r=,所以由三角函数的定义可得=,解得y=.
7.2　[解析] ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴-=1-(-1)=2.
8.80π　[解析] 72°= rad,∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)先求出直线y=-x的倾斜角,再根据终边相同的角的要求得出角α的取值集合;(2)对k分奇数和偶数两种情况分析角α所表示的范围.
(1)D　(2)C　[解析] (1)因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角α的取值集合为αα=kπ-,k∈Z.故选D.
(2)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.故选C.
变式题　(1)B　(2)一或三　[解析] (1)M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上可知,必有M⊆N.
(2)∵角α的终边在x轴的上方,
∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,
有n·360°<<90°+n·360°,可知为第一象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,
有n·360°+180°<<270°+n·360°,可知为第三象限角.
例2　[思路点拨] (1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)设扇形的半径为r,根据弧长公式可求出r的值,再由扇形的面积公式即可得出结论.
(1)2+2　(2)　[解析] (1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.
(2)设扇形的半径为r,
∵扇形的圆心角为60°,它的弧长为π,
∴=π,解得r=3,
∴S扇形=×π×3=.
变式题　(1)C　(2)2　[解析] (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×2π=-.
(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.
例3　[思路点拨] 利用任意角的三角函数的定义求解.
(1)B　(2)-　[解析] (1)∵角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,∴r===·|m|.
当m>0时,sin α==-,cos α==,∴sin α+cos α=-;
当m<0时,sin α==,cos α==-,∴sin α+cos α=.
∴sin α+cos α=±.
(2)∵角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点,∴y=-=-,
∴sin α===-.
例4　[思路点拨] (1)根据条件确定sin θ,cos θ的符号,再确定θ所在的象限;(2)根据α为第二象限角,分别确定2α,的终边所在的象限,再根据象限确定对应函数值的符号.
(1)D　(2)A　[解析] (1)由>0,得>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,所以sin θ<0,所以θ为第四象限角,故选D.
(2)由题意知,2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),则4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z),
所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以sin 2α<0,cos 2α可正可负也可为零.因为kπ+< 例5　[思路点拨] 作出位于区间上的角α的三角函数线,利用三角函数线比较大小.

A　[解析] 方法一:如图,作出位于区间上的角α的三角函数线,则角α的正弦线、余弦线、正切线分别为MP,OM,AT,显然有sin α>cos α>tan α,即a>b>c.
方法二:此题也可采用特值法.∵α∈,∴可取α=,此时a=sin α=,b=cos α=-,c=tan α=-,即a>b>c,故选A.

变式题　x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z　[解析] 由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查判断弧度制下的角所在的象限问题;例2考查弧长公式与等差数列的综合问题;例3强化对三角函数定义的理解与应用,并给出了方法二,即利用同角三角函数的基本关系也可求解;例4考查三角函数线的基本应用.
例1　[配合例1使用] 若角α=-4,则α的终边在 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[解析] B　因为-<α=-4<-π,所以依据负角的定义可知α的终边在第二象限.故选B.

例2　[配合例2使用] 如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,以AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧……这样画到第n圈,则所得整条螺旋线的长度ln=　　　　.(用π表示即可) 
[答案] n(3n+1)π
[解析] 设第n段弧的弧长为an,由弧长公式可得a1=,a2=×2,a3=×3,…,
所以数列{an}是以为首项,为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧,故所得整条螺旋线的长度ln=a1+a2+a3+…+a3n=×(1+2+3+…+3n)=n(3n+1)π.

例3　[配合例3使用] 若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α= (　　)
A.- B.
C. D.-
[解析] D　方法一:由题意知,r=,所以cos α==,解得y=-4或y=4(舍),所以tan α=-.
方法二:因为点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,
所以sin α=-=-,
所以tan α==-,故选D.
例4　[配合例5使用] [2018·北京首师大附中月考] 已知cos α≤-,则角α的取值范围为　　　　　　　　　. 

[答案] α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z
[解析] 如图所示,作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的取值范围为α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z.