高中数学4.1 指数优质课教案

这是一份高中数学4.1 指数优质课教案，共13页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质


(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；


(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；


(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.


2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；


3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；


4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．


【要点梳理】


要点一、整数指数幂的概念及运算性质


1．整数指数幂的概念


SKIPIF 1 < 0


2．运算法则


（1） SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0 ；


（3） SKIPIF 1 < 0 ；


（4） SKIPIF 1 < 0 .


要点二、根式的概念和运算法则


1．n次方根的定义：


若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.


n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 SKIPIF 1 < 0 ；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为 SKIPIF 1 < 0 ；零的奇次方根为零，记为 SKIPIF 1 < 0 ；


n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为 SKIPIF 1 < 0 ；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 SKIPIF 1 < 0 .


2．两个等式


（1）当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0


要点诠释：


①要注意上述等式在形式上的联系与区别；


②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成 SKIPIF 1 < 0 的形式，这样能避免出现错误．


要点三、分数指数幂的概念和运算法则


为避免讨论，我们约定a>0，n，m SKIPIF 1 < 0 N*，且 SKIPIF 1 < 0 为既约分数，分数指数幂可如下定义：


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


要点四、有理数指数幂的运算


1．有理数指数幂的运算性质


SKIPIF 1 < 0


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0


当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.


要点诠释：


(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；


(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 SKIPIF 1 < 0 ；


(3)幂指数不能随便约分.如 SKIPIF 1 < 0 .


2.指数幂的一般运算步骤


有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.











【典型例题】


类型一、根式


例1.计算：


（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 .























举一反三：


【变式1】化简：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0




















类型二、指数运算、化简、求值


例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中 SKIPIF 1 < 0 ）：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 。









































举一反三：


【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简


（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0








【变式2】把下列根式化成分数指数幂：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 。




















例3.计算：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0 。

















举一反三：


【变式1】计算下列各式：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；


(2) SKIPIF 1 < 0 .




















例4.化简下列各式.


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0 ；


(3) SKIPIF 1 < 0 .

















举一反三：


【变式1】化简 SKIPIF 1 < 0

















【变式2】化简下列式子：


(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
























































例5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值。




















举一反三：


【变式1】


(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.


(2)已知x+y=12， xy=9，且x

























例6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值





















































参考答案


【典型例题】


类型一、根式


例1.计算：（1） SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0 .


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.


（1） SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


=| SKIPIF 1 < 0 |+| SKIPIF 1 < 0 |-| SKIPIF 1 < 0 |


= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 -（ SKIPIF 1 < 0 ）


=2 SKIPIF 1 < 0


（2） SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全 SKIPIF 1 < 0 次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中， SKIPIF 1 < 0 的分子、分母中同乘以 SKIPIF 1 < 0 .


举一反三：


【变式1】化简：（1） SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 。


类型二、指数运算、化简、求值


例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中 SKIPIF 1 < 0 ）：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 。


【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0


【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。


（1） SKIPIF 1 < 0


（2） SKIPIF 1 < 0 ；


（3） SKIPIF 1 < 0 ；


（4）解法一：从里向外化为分数指数幂


SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


解法二：从外向里化为分数指数幂。


SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


【总结升华】此类问题应熟练应用 SKIPIF 1 < 0 。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。


举一反三：


■高清课程：指数与指数运算 例1


【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简


（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 。


【变式2】把下列根式化成分数指数幂：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 。


【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0


【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0 ；


（3） SKIPIF 1 < 0 ；


（4） SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 。


例3.计算：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0 。


【答案】3；0；2


【解析】(1)原式= SKIPIF 1 < 0 ；


(2)原式= SKIPIF 1 < 0 ；


(3)原式=-5+6+4- SKIPIF 1 < 0 -(3- SKIPIF 1 < 0 )=2；


【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.


举一反三：


【变式1】计算下列各式：


(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .


【答案】(1)112 （2） SKIPIF 1 < 0


【解析】(1)原式= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；


(2)原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .


例4.化简下列各式.


(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ； (3) SKIPIF 1 < 0 .


【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；0.09


【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.


(1) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


举一反三：


【变式1】化简 SKIPIF 1 < 0


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】应注意到 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，


原式 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 .


【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.


【变式2】化简下列式子：


(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0


【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0


【解析】(1)原式 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


∴由平方根的定义得： SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 .


■高清课程：指数与指数运算 例4


例5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值。


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】从已知条件中解出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件 SKIPIF 1 < 0 的联系，进而整体代入求值。


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的值，然后整体代入。


举一反三：


【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.


(2)已知x+y=12， xy=9，且x

【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0


【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3


SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.


又 ∵ x

【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.


(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.


例6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】先把 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“整体代换”的方法去求值.


由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0