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    人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质一等奖教学设计

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质一等奖教学设计,共15页。教案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,思路点拨,总结升华等内容,欢迎下载使用。

    【学习目标】


    1.理解函数的奇偶性定义;


    2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性;


    3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.


    【要点梳理】


    要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤


    1.函数奇偶性的概念


    偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数.


    奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数.


    要点诠释:


    (1)奇偶性是整体性质;


    (2)x在定义域中,那么-x在定义域中吗?----具有奇偶性的函数,其定义域必定是关于原点对称的;


    (3)f(-x)=f(x)的等价形式为: SKIPIF 1 < 0 ,


    f(-x)=-f(x)的等价形式为: SKIPIF 1 < 0 ;


    (4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f(0)=0;


    (5)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则必有f(x)=0.


    2.奇偶函数的图象与性质


    (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.


    (2)如果一个函数为偶函数,则它的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称;反之,如果一个函数的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称,则这个函数是偶函数.


    3.用定义判断函数奇偶性的步骤


    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域,判断函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;


    (2)结合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域,化简函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式;


    (3)求 SKIPIF 1 < 0 ,可根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系,判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


    若 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 是奇函数;


    若 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 是偶函数;


    若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 既不是奇函数,也不是偶函数;


    若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数,又是偶函数


    要点二、判断函数奇偶性的常用方法


    (1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之一是否相等.


    (2)验证法:在判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系时,只需验证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0及 SKIPIF 1 < 0 是否成立即可.


    (3)图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点( SKIPIF 1 < 0 轴)对称.


    (4)性质法:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.


    (5)分段函数奇偶性的判断


    判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断.在函数定义域内,对自变量 SKIPIF 1 < 0 的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数,而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系.首先要特别注意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的范围,然后将它代入相应段的函数表达式中, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.


    要点三、关于函数奇偶性的常见结论


    奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则 SKIPIF 1 < 0 在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则 SKIPIF 1 < 0 在区间[-b,-a]上也是减函数(增函数).








    【典型例题】


    类型一、判断函数的奇偶性


    例1. 判断下列函数的奇偶性:


    (1) SKIPIF 1 < 0 ; (2)f(x)=x2-4|x|+3 ;


    (3)f(x)=|x+3|-|x-3|; (4) SKIPIF 1 < 0 ;


    (5) SKIPIF 1 < 0 ; (6) SKIPIF 1 < 0



































    举一反三:


    【变式1】判断下列函数的奇偶性:


    (1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;


    (3) SKIPIF 1 < 0 ; (4) SKIPIF 1 < 0 .









































    【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.



































    【变式3】设函数 SKIPIF 1 < 0 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论


    恒成立的是 ( ).


    A. SKIPIF 1 < 0 +|g(x)|是偶函数 B. SKIPIF 1 < 0 -|g(x)|是奇函数


    C.| SKIPIF 1 < 0 | +g(x)是偶函数 D.| SKIPIF 1 < 0 |- g(x)是奇函数





    例2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


























    举一反三:


    【变式1】 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ,


    都有 SKIPIF 1 < 0 ,判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.























    类型二、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)


    例3. f(x),g(x)均为奇函数, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为5,则 SKIPIF 1 < 0 在(- SKIPIF 1 < 0 )上的最小值为 .





    举一反三:


    【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).
































    例4. 已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.







































































    举一反三:


    【变式1】(1)已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,


    求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


    (2)已知奇函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.





























    例5. 定义域在区间[-2,2]上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 ,当x≥0时, SKIPIF 1 < 0 是单调递减的,


    若 SKIPIF 1 < 0 成立,求m的取值范围.
































    类型三、函数奇偶性的综合问题


    例6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间.
































    例7. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.






































    举一反三:


    【变式1】 判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.























    例8. 对于函数 SKIPIF 1 < 0 ,若存在x0∈R,使 SKIPIF 1 < 0 成立,则称点(x0,x0)为函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点.


    (1)已知函数 SKIPIF 1 < 0 有不动点(1,1),(―3,―3),求a,b的值;


    (2)若对于任意的实数b,函数 SKIPIF 1 < 0 总有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;


    (3)若定义在实数集R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 存在(有限)n个不动点,求证:n必为奇数.
































    参考答案


    【典型例题】


    类型一、判断函数的奇偶性


    例1. 判断下列函数的奇偶性:


    (1) SKIPIF 1 < 0 ; (2)f(x)=x2-4|x|+3 ;


    (3)f(x)=|x+3|-|x-3|; (4) SKIPIF 1 < 0 ;


    (5) SKIPIF 1 < 0 ; (6) SKIPIF 1 < 0


    【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.


    【答案】(1)非奇非偶函数;(2)偶函数;(3)奇函数;(4)奇函数;(5)奇函数;(6)奇函数.


    【解析】(1)∵f(x)的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;


    (2)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ;


    (3)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;


    (4) SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 ,∴f(x)为奇函数;


    (5)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;


    (6) SKIPIF 1 < 0 ,∴f(x)为奇函数.


    【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件,因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则,即优先研究函数的定义域,否则就会做无用功.如在本例(5)中若不研究定义域,在去掉 SKIPIF 1 < 0 的绝对值符号时就十分麻烦.


    举一反三:


    【变式1】判断下列函数的奇偶性:


    (1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 ;


    (4) SKIPIF 1 < 0 .


    【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)非奇非偶函数;(4)奇函数.


    【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ,


    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是奇函数.


    (2) SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ,


    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是偶函数.


    (3) SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数.


    (4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)


    任取x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)


    x=0时,f(0)=-f(0) ∴x∈R时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.


    【高清课堂:函数的奇偶性356732例2(1)】


    【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.


    证明:设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则


    F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)


    G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)


    ∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.


    【高清课堂:函数的奇偶性356732例2(2)】


    【变式3】设函数 SKIPIF 1 < 0 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论


    恒成立的是 ( ).


    A. SKIPIF 1 < 0 +|g(x)|是偶函数 B. SKIPIF 1 < 0 -|g(x)|是奇函数


    C.| SKIPIF 1 < 0 | +g(x)是偶函数 D.| SKIPIF 1 < 0 |- g(x)是奇函数


    【答案】A


    例2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


    【答案】奇函数


    【解析】因为对于任何实数 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ,可以令 SKIPIF 1 < 0 为某些特殊值,得出 SKIPIF 1 < 0 .


    设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .


    又设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,


    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是奇函数.


    【总结升华】判断抽象函数的单调性,可用特殊值赋值法来求解.在这里,由于需要判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系,因此需要先求出 SKIPIF 1 < 0 的值才行.


    举一反三:


    【变式1】 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ,判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


    【答案】偶函数


    【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0


    由上两式得: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是偶函数.


    类型二、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)


    例3. f(x),g(x)均为奇函数, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为5,则 SKIPIF 1 < 0 在(- SKIPIF 1 < 0 )上的最小值为 .


    【答案】 -1


    【解析】考虑到 SKIPIF 1 < 0 均为奇函数,联想到奇函数的定义,不妨寻求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系.


    SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 ,


    SKIPIF 1 < 0 .


    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,


    而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-1.


    【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义,其实如果仔细观察还可以发现 SKIPIF 1 < 0 也是奇函数,从这个思路出发,也可以很好地解决本题.过程如下: SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最大值为5, SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3, SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为-3, SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最小值为-3+2=-1.


    举一反三:


    【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).


    【答案】-26


    【解析】法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10


    ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26


    法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数


    ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8


    ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.


    【总结升华】本题要会对已知式进行变形,得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数,这是本题的关键之处,从而问题 SKIPIF 1 < 0 便能迎刃而解.


    例4. 已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


    【答案】 SKIPIF 1 < 0


    【解析】 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数,


    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,


    SKIPIF 1 < 0


    = SKIPIF 1 < 0


    又奇函数 SKIPIF 1 < 0 在原点有定义, SKIPIF 1 < 0 .


    SKIPIF 1 < 0


    【总结升华】若奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有意义,则必有 SKIPIF 1 < 0 ,即它的图象必过原点(0,0).


    举一反三:


    【高清课堂:函数的奇偶性 356732 例3】


    【变式1】(1)已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,


    求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


    (2)已知奇函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,


    求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0


    例5. 定义域在区间[-2,2]上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 ,当x≥0时, SKIPIF 1 < 0 是单调递减的,若 SKIPIF 1 < 0 成立,求m的取值范围.


    【思路点拨】根据定义域知1-m,m∈[―1,2],但是1―m,m在[―2,0],[0,2]的哪个区间内尚不明确,若展开讨论,将十分复杂,若注意到偶函数 SKIPIF 1 < 0 的性质: SKIPIF 1 < 0 ,可避免讨论.


    【答案】 SKIPIF 1 < 0 .


    【解析】


    由于 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .因为x≥0时, SKIPIF 1 < 0 是单调递减的,故 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .


    故m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .


    【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质,将1―m,m转化到同一单调区间上,避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化.另外,需注意的是不要忘记定义域.


    类型三、函数奇偶性的综合问题


    例6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间.


    【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定,即“同增异减”。


    【答案】[0,1]和(―∞,―1]


    【解析】 ∵ SKIPIF 1 < 0 是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,∴ SKIPIF 1 < 0 在(-∞,0]上是增函数.


    设u=1―x2,则函数 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 与函数u=1―x2的复合函数.


    ∵当0≤x≤1时,u是减函数,且u≥0,而u≥0时, SKIPIF 1 < 0 是减函数,根据复合函数的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 是增函数.


    ∵当x≤-1时,u是增函数,且u≤0,而u≤0时, SKIPIF 1 < 0 是增函数,根据复合函数的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 是增函数.


    同理可得当-1≤x≤0或x≥1时, SKIPIF 1 < 0 是减函数.


    ∴所求的递增区间为[0,1]和(―∞,―1].


    【总结升华】(1)函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类:一类是两个性质交融在一起(如本例),此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性,从而得到其对称区间上的单调性;另一类是两个性质简单组合,此时只需分别利用函数的这两个性质解题.


    (2)确定复合函数的单调性比较困难,也比较容易出错.确定x的取值范围时,必须考虑相应的u的取值范围.本例中,x≥1时,u仍是减函数,但此时u≤0,不属于 SKIPIF 1 < 0 的减区间,所以不能取x≥1,这是应当特别注意的.


    例7. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.


    【思路点拨】对a进行讨论,把绝对值去掉,然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。


    【答案】当a=0时,函数为偶函数;当a≠0时,函数为非奇非偶函数.


    当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .


    【解析】当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;


    当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.


    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0


    ① SKIPIF 1 < 0


    且 SKIPIF 1 < 0


    ② SKIPIF 1 < 0 上单调递增,


    SKIPIF 1 < 0 上的最小值为f(a)=a2+1.


    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0


    ① SKIPIF 1 < 0 上单调递减,


    SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0


    ② SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0


    综上: SKIPIF 1 < 0


    SKIPIF 1 < 0 .


    举一反三:


    【变式1】 判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


    【答案】当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数,又是偶函数;当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.


    【解析】对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论.


    若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .


    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 定义域 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称, SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数,又是偶函数.


    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.


    综上,当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数,又是偶函数;


    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.


    例8. 对于函数 SKIPIF 1 < 0 ,若存在x0∈R,使 SKIPIF 1 < 0 成立,则称点(x0,x0)为函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点.


    (1)已知函数 SKIPIF 1 < 0 有不动点(1,1),(―3,―3),求a,b的值;


    (2)若对于任意的实数b,函数 SKIPIF 1 < 0 总有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;


    (3)若定义在实数集R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 存在(有限)n个不动点,求证:n必为奇数.


    【答案】(1)a=1,b=3;(2)(0,1);(3)略.


    【解析】 (1)由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根,


    由违达定理 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 a=1,b=3.


    (2)由已知得:ax2+bx―b=x(a≠0)有两个不相等的实数根,


    ∴Δ1=(b-1)2+4ab>0对于任意的实数b恒成立.


    即b2+(4a-2)b+1>0对于任意的实数b恒成立.


    也就是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与横轴无交点.


    又二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是开口向上的抛物线,


    从而Δ2=(4a―2)2―4<0,即|4a―2|<2,∴0<a<1.


    ∴满足题意的实数a的取值范围为(0,1).


    (3)∵ SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数,∴ SKIPIF 1 < 0 .


    令x=0,得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .∴(0,0)是 SKIPIF 1 < 0 的一个不动点.


    设(x0,x0)(x0≠0)是 SKIPIF 1 < 0 的一个不动点,则 SKIPIF 1 < 0 .


    又 SKIPIF 1 < 0 ,∴(―x0,―x0)也是 SKIPIF 1 < 0 的一个不动点.


    又∵x0≠-x0,∴ SKIPIF 1 < 0 的非零不动点是成对出现的.


    又(0,0)也是 SKIPIF 1 < 0 的一个不动点,∴若 SKIPIF 1 < 0 存在n个不动点,则n必为奇数.


    【总结升华】本例是一个信息迁移问题,解这类问题关键在于准确理解新定义,充分利用新定义分析解决问题.本例的“不动点”实质是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的解的问题.本例(3)的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论.


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