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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品教学设计及反思
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品教学设计及反思，共16页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.
2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一：一次函数模型的应用
1.一次函数的一般形式： SKIPIF 1 < 0 ，其定义域是R，值域是R.
要点二：二次函数模型的应用
1.二次函数的一般形式是 SKIPIF 1 < 0 其定义域为R.
2.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.
要点三：数学建模
1．数学建模的过程
2.数学建模的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.
第四步：再转译为具体问题作出解答.
3．函数模型的综合应用
函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。
在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：
第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的。
第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素。
第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述。
第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果。
第五阶段，解释数学模型的结果。
【典型例题】
类型一、一次函数模型的应用
例1.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
举一反三：
【变式1】某校高一（8）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系．
（1）求x与y的函数关系；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
【变式2】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
例2．已知直角梯形ABCD如图（1）所示，AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，动点P从B点出发，按B→C→D→A顺序沿边运动（不包括B，A两点），设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，试建立y与x的函数关系式．并据此分析y的最大值．
例3.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据：
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
类型二：二次函数模型的应用
例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
SKIPIF 1 < 0 ，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
例5．南博汽车城销售种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
举一反三：
【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?
【变式2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
类型三：综合应用
【高清课堂：函数模型的应用实例 392115 例2】
例6．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 SKIPIF 1 < 0 千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当 SKIPIF 1 < 0 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,外环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应投入几列列车运行?
举一反三：
【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的
四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.
若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
参考答案
【典型例题】
类型一、一次函数模型的应用
例1.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
【思路点拨】每月所赚的钱＝卖报收入的总价-付给报社的总价．而收入的总数分别为3部分：①在可卖出400份的20天里．收入为 SKIPIF 1 < 0 ；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出．收入为O.5×250×10；③没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社，报社付给(x-250)×O.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．
【解析】设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400．设每月赚y元，得
y=O.5·x·20+O.5×250×10+(x-250)×0.08×10-O.35·x·30．
=O.3x+1050，x∈[250，400]．
因为y=O.3x+1050是定义域上的增函数，
所以当x=400时，
SKIPIF 1 < 0 (元)．
可知每天应从报社买400份报纸．获得利润最大，每月可赚1170元．
举一反三：
【变式1】某校高一（8）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系．
（1）求x与y的函数关系；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
【答案】（1）y＝-80x+720(x＞0)（2）桶装纯净水更省钱
【解析】 （1）由题意可设y与x的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，把(4，400)，(5，320)代入得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 所以y＝-80x+720(x＞0)．
（2）当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6000（元）；若集体改饮桶装纯净水，设所用的费用为ω元，由380-80x+720，得x＝4.25．
∴ ω＝380×4.25+780=2395（元）＜6000（元）．
所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱．
【总结升华】 本题的关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．
【变式2】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
【思路点拨】设生产A种(或B种)产品x件，则生产B种(或A种)产品(50-x)件．根据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg．可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的范圃，进而确定x的正整数值．
【解析】(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为 SKIPIF 1 < 0 件，依题意，得 SKIPIF 1 < 0 解得30≤x≤32．
∵ x是整数，
∴ 只能取30，31，32．
∴ 生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件，A种32件；B种18件．
(2)设生产A种产品为x件，则
y=700x+1200(50-x)=-500x+60000．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，根据一次函数的增减性，
∴ y随x的增大而减小．
当x=30时，y最大， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ 安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元
【总结升华】此题的第(1)问是利用一元二次不等式组解决的，第(2)问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意第(2)问与第(1)问的相互联系.
例2．已知直角梯形ABCD如图（1）所示，AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，动点P从B点出发，按B→C→D→A顺序沿边运动（不包括B，A两点），设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，试建立y与x的函数关系式．并据此分析y的最大值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 16
【解析】 ①当点P在BC边上，即0＜x≤4时，
如图（1）， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是增函数， SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P在CD边上，即4＜x≤9时，
如图（2）所示， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是常数函数，y＝16；
③当点P在DA边上，即9＜x＜14时，
如图（3）所示，AP＝14-x，
过P，D作点PM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
显然△APM∽△AND，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是减函数， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
y的最大值为16．
【总结升华】 通过图象我们可以观察出，△APB的边AB长不变，所以△APB的面积就取决于AB上的高的大小，由图可知，当P点在CD上时，边AB上的高最大，这与通过函数求出的最值不谋而合．因此，几何问题也可以通过代数知识得到完美的解决．
例3.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据：
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
【思路点拨】由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律，通常的方法是描绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，用数据待定出表达式．
【解析】我们取磁钢粘合面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系，根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数 SKIPIF 1 < 0 表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6，0.812)，(189.O，2.86)，将它们的坐标代人 SKIPIF 1 < 0 ，
得方程组 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ≈0.01547， SKIPIF 1 < 0 ≈-O.06350．
这条直线是 SKIPIF 1 < 0 .
【总结升华】在解决实际问题中，提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入检验，这是一个完整的过程，作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的基础，确定函数模型后，经常需要检验，如果误差较大，就要修正得到的函数模型.
类型二：二次函数模型的应用
例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
SKIPIF 1 < 0 ，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对 SKIPIF 1 < 0 分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而 SKIPIF 1 < 0 。
（2）当0≤x≤400时，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，
f (x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。
例5．南博汽车城销售种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝-x+4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)（2） SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)
（3）27．5万元 50万元
【解析】 （1）因为y＝29-25-x，
所以y＝-x+4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
（3）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
故当x＝1.5时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
【总结升华】（1）这是一个二次函数模型的应用问题，一般地，设“某类商品在销售价格是b元时，可售出a件，现欲提价，每件提高m元，销售量减少n个，求提高多少元时销售总收入最高”．
设提高x个m元，则销售量为a－nx，
总改入 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解这类问题需要理解有关名词（如利润、利润率、盈利、亏本）的含义，掌握有关计算公式（如：利润＝销售额－成本费，利润率＝利润÷进货价×100%），并巧妙地建立函数关系式．
举一反三：
【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?
【思路点拨】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元．则实际销售单价为(10+ SKIPIF 1 < 0 )元；日销售量为(100-10 SKIPIF 1 < 0 )个；日销售额为(10+x)(100-10x)元；日销售成本为8(100-10x)元，故利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(x∈N)易得，当 SKIPIF 1 < 0 =4时，y最大．此时，销售单价为14元．
【解析】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元，则实际销售价格为 SKIPIF 1 < 0 元，由题意得利润为
y=(10+ SKIPIF 1 < 0 )(100-10 SKIPIF 1 < 0 )-8(100-1O SKIPIF 1 < 0 )=-10( SKIPIF 1 < 0 -4)2+360(x∈N)．
∴ 当 SKIPIF 1 < 0 =4时， SKIPIF 1 < 0 ．
此时销售价为10+4=14(元)．
【总结升华】根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等.
【变式2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【答案】2000
【解析】设树苗可以放置的一个最佳坑位的编号为 SKIPIF 1 < 0 ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值，由二次函数的性质，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 为正整数，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值是1000米，所以往返路程的最小值是2000米.
【总结升华】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数的最值问题，转化为求一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．
类型三：综合应用
【高清课堂：函数模型的应用实例 392115 例2】
例6．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 SKIPIF 1 < 0 千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当 SKIPIF 1 < 0 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,外环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应投入几列列车运行?
【答案】（1）20 （2）10 8
【解析】(1)设内环线列车运行的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,由题意可知, SKIPIF 1 < 0
所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.
(2)设内环线投入 SKIPIF 1 < 0 列列车运行,则外环线投入 SKIPIF 1 < 0 列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为 SKIPIF 1 < 0 分钟,则 SKIPIF 1 < 0
于是有 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
举一反三：
【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的
四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.
若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？
【答案】15cm
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
所以 SKIPIF 1 < 0 cm时包装盒侧面积S最大.
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 SKIPIF 1 < 0 与车流速度 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0
再由已知得 SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[20，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[0，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
序号
磁钢面积 SKIPIF 1 < 0
用胶量 SKIPIF 1 < 0
1
11.0
0.164
2
19.4
0.396
3
26.2
0.404
4
46.6
0.664
5
56.6
0.812
6
67.2
0.972
7
125.2
1.688
8
189.0
2.86
9
247.1
4.076
10
443.4
7.332
序号
磁钢面积 SKIPIF 1 < 0
用胶量 SKIPIF 1 < 0
1
11.0
0.164
2
19.4
0.396
3
26.2
0.404
4
46.6
0.664
5
56.6
0.812
6
67.2
0.972
7
125.2
1.688
8
189.0
2.86
9
247.1
4.076
10
443.4
7.332
【学习目标】
1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.
2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一：一次函数模型的应用
1.一次函数的一般形式： SKIPIF 1 < 0 ，其定义域是R，值域是R.
要点二：二次函数模型的应用
1.二次函数的一般形式是 SKIPIF 1 < 0 其定义域为R.
2.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.
要点三：数学建模
1．数学建模的过程
2.数学建模的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.
第四步：再转译为具体问题作出解答.
3．函数模型的综合应用
函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。
在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：
第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的。
第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素。
第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述。
第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果。
第五阶段，解释数学模型的结果。
【典型例题】
类型一、一次函数模型的应用
例1.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
举一反三：
【变式1】某校高一（8）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系．
（1）求x与y的函数关系；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
【变式2】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
例2．已知直角梯形ABCD如图（1）所示，AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，动点P从B点出发，按B→C→D→A顺序沿边运动（不包括B，A两点），设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，试建立y与x的函数关系式．并据此分析y的最大值．
例3.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据：
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
类型二：二次函数模型的应用
例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
SKIPIF 1 < 0 ，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
例5．南博汽车城销售种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
举一反三：
【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?
【变式2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
类型三：综合应用
【高清课堂：函数模型的应用实例 392115 例2】
例6．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 SKIPIF 1 < 0 千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当 SKIPIF 1 < 0 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,外环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应投入几列列车运行?
举一反三：
【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的
四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.
若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
参考答案
【典型例题】
类型一、一次函数模型的应用
例1.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
【思路点拨】每月所赚的钱＝卖报收入的总价-付给报社的总价．而收入的总数分别为3部分：①在可卖出400份的20天里．收入为 SKIPIF 1 < 0 ；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出．收入为O.5×250×10；③没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社，报社付给(x-250)×O.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．
【解析】设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400．设每月赚y元，得
y=O.5·x·20+O.5×250×10+(x-250)×0.08×10-O.35·x·30．
=O.3x+1050，x∈[250，400]．
因为y=O.3x+1050是定义域上的增函数，
所以当x=400时，
SKIPIF 1 < 0 (元)．
可知每天应从报社买400份报纸．获得利润最大，每月可赚1170元．
举一反三：
【变式1】某校高一（8）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系．
（1）求x与y的函数关系；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
【答案】（1）y＝-80x+720(x＞0)（2）桶装纯净水更省钱
【解析】 （1）由题意可设y与x的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，把(4，400)，(5，320)代入得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 所以y＝-80x+720(x＞0)．
（2）当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6000（元）；若集体改饮桶装纯净水，设所用的费用为ω元，由380-80x+720，得x＝4.25．
∴ ω＝380×4.25+780=2395（元）＜6000（元）．
所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱．
【总结升华】 本题的关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．
【变式2】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
【思路点拨】设生产A种(或B种)产品x件，则生产B种(或A种)产品(50-x)件．根据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg．可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的范圃，进而确定x的正整数值．
【解析】(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为 SKIPIF 1 < 0 件，依题意，得 SKIPIF 1 < 0 解得30≤x≤32．
∵ x是整数，
∴ 只能取30，31，32．
∴ 生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件，A种32件；B种18件．
(2)设生产A种产品为x件，则
y=700x+1200(50-x)=-500x+60000．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，根据一次函数的增减性，
∴ y随x的增大而减小．
当x=30时，y最大， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ 安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元
【总结升华】此题的第(1)问是利用一元二次不等式组解决的，第(2)问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意第(2)问与第(1)问的相互联系.
例2．已知直角梯形ABCD如图（1）所示，AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，动点P从B点出发，按B→C→D→A顺序沿边运动（不包括B，A两点），设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，试建立y与x的函数关系式．并据此分析y的最大值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 16
【解析】 ①当点P在BC边上，即0＜x≤4时，
如图（1）， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是增函数， SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P在CD边上，即4＜x≤9时，
如图（2）所示， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是常数函数，y＝16；
③当点P在DA边上，即9＜x＜14时，
如图（3）所示，AP＝14-x，
过P，D作点PM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
显然△APM∽△AND，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数是减函数， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
y的最大值为16．
【总结升华】 通过图象我们可以观察出，△APB的边AB长不变，所以△APB的面积就取决于AB上的高的大小，由图可知，当P点在CD上时，边AB上的高最大，这与通过函数求出的最值不谋而合．因此，几何问题也可以通过代数知识得到完美的解决．
例3.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据：
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
【思路点拨】由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律，通常的方法是描绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，用数据待定出表达式．
【解析】我们取磁钢粘合面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系，根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数 SKIPIF 1 < 0 表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6，0.812)，(189.O，2.86)，将它们的坐标代人 SKIPIF 1 < 0 ，
得方程组 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ≈0.01547， SKIPIF 1 < 0 ≈-O.06350．
这条直线是 SKIPIF 1 < 0 .
【总结升华】在解决实际问题中，提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入检验，这是一个完整的过程，作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的基础，确定函数模型后，经常需要检验，如果误差较大，就要修正得到的函数模型.
类型二：二次函数模型的应用
例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
SKIPIF 1 < 0 ，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对 SKIPIF 1 < 0 分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而 SKIPIF 1 < 0 。
（2）当0≤x≤400时，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，
f (x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。
例5．南博汽车城销售种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝-x+4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)（2） SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)
（3）27．5万元 50万元
【解析】 （1）因为y＝29-25-x，
所以y＝-x+4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
（3）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 (0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
故当x＝1.5时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
【总结升华】（1）这是一个二次函数模型的应用问题，一般地，设“某类商品在销售价格是b元时，可售出a件，现欲提价，每件提高m元，销售量减少n个，求提高多少元时销售总收入最高”．
设提高x个m元，则销售量为a－nx，
总改入 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解这类问题需要理解有关名词（如利润、利润率、盈利、亏本）的含义，掌握有关计算公式（如：利润＝销售额－成本费，利润率＝利润÷进货价×100%），并巧妙地建立函数关系式．
举一反三：
【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?
【思路点拨】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元．则实际销售单价为(10+ SKIPIF 1 < 0 )元；日销售量为(100-10 SKIPIF 1 < 0 )个；日销售额为(10+x)(100-10x)元；日销售成本为8(100-10x)元，故利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(x∈N)易得，当 SKIPIF 1 < 0 =4时，y最大．此时，销售单价为14元．
【解析】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元，则实际销售价格为 SKIPIF 1 < 0 元，由题意得利润为
y=(10+ SKIPIF 1 < 0 )(100-10 SKIPIF 1 < 0 )-8(100-1O SKIPIF 1 < 0 )=-10( SKIPIF 1 < 0 -4)2+360(x∈N)．
∴ 当 SKIPIF 1 < 0 =4时， SKIPIF 1 < 0 ．
此时销售价为10+4=14(元)．
【总结升华】根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等.
【变式2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【答案】2000
【解析】设树苗可以放置的一个最佳坑位的编号为 SKIPIF 1 < 0 ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值，由二次函数的性质，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 为正整数，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值是1000米，所以往返路程的最小值是2000米.
【总结升华】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数的最值问题，转化为求一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．
类型三：综合应用
【高清课堂：函数模型的应用实例 392115 例2】
例6．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 SKIPIF 1 < 0 千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当 SKIPIF 1 < 0 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 SKIPIF 1 < 0 分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,外环线列车平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应投入几列列车运行?
【答案】（1）20 （2）10 8
【解析】(1)设内环线列车运行的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时,由题意可知, SKIPIF 1 < 0
所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.
(2)设内环线投入 SKIPIF 1 < 0 列列车运行,则外环线投入 SKIPIF 1 < 0 列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为 SKIPIF 1 < 0 分钟,则 SKIPIF 1 < 0
于是有 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
举一反三：
【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的
四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.
若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？
【答案】15cm
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
所以 SKIPIF 1 < 0 cm时包装盒侧面积S最大.
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 SKIPIF 1 < 0 与车流速度 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0
再由已知得 SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[20，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[0，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
序号
磁钢面积 SKIPIF 1 < 0
用胶量 SKIPIF 1 < 0
1
11.0
0.164
2
19.4
0.396
3
26.2
0.404
4
46.6
0.664
5
56.6
0.812
6
67.2
0.972
7
125.2
1.688
8
189.0
2.86
9
247.1
4.076
10
443.4
7.332
序号
磁钢面积 SKIPIF 1 < 0
用胶量 SKIPIF 1 < 0
1
11.0
0.164
2
19.4
0.396
3
26.2
0.404
4
46.6
0.664
5
56.6
0.812
6
67.2
0.972
7
125.2
1.688
8
189.0
2.86
9
247.1
4.076
10
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