2020版高考数学一轮复习课后限时集训20《函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(二十)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2018·天津高考)将函数y=sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)

A．在区间上是增加的

B．在区间上是减少的

C．在区间上是增加的

D．在区间上是减少的

A　[y=sin=sin 2，将其图像向右平移个单位长度，得到函数y=sin 2x的图像．由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k=0，可知函数y=sin 2x在区间上是增加的．故选A．]

2．为了得到函数y=sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y=cos 3x的图像(　　)

A．向右平移个单位　 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

A　[由于y=sin 3x＋cos 3x=sin，y=cos 3x=sin，因此只需将y=cos 3x的图像向右平移个单位，即可得到y=sin3x－＋=sin的图像．]

3．函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f的值为(　　)

A．－　　　B．－  C．－　　　D．－1

D　[由图像可得A=，最小正周期T=4×－=π，则ω==2.又f=sin=－，得φ=，则f(x)=sin，f=sin＋=sin=－1，选项D正确．]

4．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0,0＜φ＜的图像如图所示，则当t=秒时，电流强度是(　　)

A．－5安 B．5安

C．5安 D．10安

A　[由图像知A=10，周期T=2=，

则ω=100π，将点代入I=10sin(100πt＋φ)得

sin=1，则＋φ=2kπ＋，k∈Z.

所以φ=2kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜知，φ=.

所以I=10sin，

当t=时，I=10sin=－5.故选A．]

5．(2019·西安模拟)将函数y=sin图像上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin 2x的图像上，则(　　)

A．t=，s的最小值为

B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为

D．t=，s的最小值为

A　[因为点P在函数y=sin的图像上，所以t=sin=sin=.所以P.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′.

因为P′在函数y=sin 2x的图像上，所以sin 2=，即cos 2s=，所以2s=2kπ＋或2s=2kπ＋π，即s=kπ＋或s=kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为.]

二、填空题

6．将函数f(x)=sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度．得到y=sin x的图像，则f=________.

　[y=sin xy=sin

y=sin，

即f(x)=sin，

∴f=sin=sin=.]

7．已知函数f(x)=Atan(ωx＋φ)，y=f(x)的部分图像如图，则f=________.

　[由题图可知，T=2=，

所以ω=2，

所以2×＋φ=kπ＋(k∈Z)．

又|φ|＜，所以φ=.

又f(0)=1，所以Atan=1，得A=1，

所以f(x)=tan，

所以f=tan=tan=.]

8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a＋Acos(x=1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.

20.5　[依题意知，a==23，A==5，

∴y=23＋5cos，

当x=10时，y=23＋5cos=20.5.]

三、解答题

9．已知函数f(x)=sin＋1.

(1)求它的振幅、最小正周期、初相；

(2)画出函数y=f(x)在上的图像．

[解]　(1)振幅为，最小正周期T=π，初相为－.

(2)图像如图所示．

10．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3，2)，赛道的后一部分为折线段MNP，求A，ω的值和M，P两点间的距离．

[解]　依题意，有A=2，=3，

又T=，所以ω=，

所以y=2sinx，x∈[0,4]，

所以当x=4时，y=2sin=3，

所以M(4,3)，又P(8,0)，

所以MP===5(km)，

即M，P两点间的距离为5 km.

B组　能力提升

1．(2019·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．

如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下列叙述错误的是(　　)

A．R=6，ω=，φ=－

B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10,25]时，函数y=f(t)是减少的

D．当t=20时，|PA|=6

C　[由题意，R==6，T=60=，∴ω=，当t=0时，y=f(t)=－3，代入可得－3=6sin φ，∵|φ|＜，∴φ=－.故A正确；

f(t)=6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；

当t∈[10,25]时，t－∈，函数y=f(t)不单调，C不正确；

当t=20时，t－=，P的纵坐标为6，|PA|==6，D正确，故选C.]

2．(2019·大同模拟)函数f(x)=3·sin ωx(ω＞0)的部分图像如图所示，点A，B是图像的最高点，点C是图像的最低点，且△ABC是等边三角形，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值为(　　)

A．　　　　 B.

C．9＋1   D.

D　[由题意知，AB=T，则T=6，

∴T=12，由T==12得ω=.

∴f(x)=3sinx，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)

=3sin＋3sin＋3sin

=3×=，故选D.]

3．(2019·辽宁五校联考)设ω＞0，函数y=2cosωx＋的图像向右平移个单位长度后与函数y=2sinωx＋的图像重合，则ω的最小值是________．

　[函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后，得y=2cosωx－＋=2cosωx＋－ω的图像，由已知得cosωx＋－ω=sinωx＋，所以sin＋ωx＋－ω=sinωx＋，所以＋ωx＋－ω＋2kπ=ωx＋，k∈Z，所以ω=＋10k，k∈Z，又因为ω＞0，所以ω的最小值为.]

4．(2017·山东高考)设函数f(x)=sin＋sin，其中0<ω<3，已知f=0.

(1)求ω；

(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在上的最小值．

[解]　(1因为f(x)=sin＋sin，

所以f(x)=sin ωx－cos ωx－cos ωx

=sin ωx－cos ωx

=

=sin .

由题设知f=0，所以－=kπ，k∈Z，

所以ω=6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω=2.

(2)由(1)得f(x)=sin ，

所以g(x)=sin=sin.

因为x∈，

所以x－∈.

当x－=－，即x=－时，g(x)取得最小值－.