2020版高考数学一轮复习课后限时集训15《导数与函数的极值最值》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(十五)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．函数y=f(x)导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．函数y=f(x)在区间(－1,3)上递增

B．函数y=f(x)在区间(3,5)上递减

C．函数y=f(x)在x=0处取得极大值

D．函数y=f(x)在x=5处取得极小值

C　[由函数y=f(x)导函数的图像可知：

当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)递减；

当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)递增．

所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(3,5)；增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，

f(x)在x=－1,5处取得极小值，在x=3处取得极大值，

故选项C错误，故选C．]

2．函数y=ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　)

A．e　　　　　　　　 B．1

C．－1 D．－e

C　[函数y=ln x－x的定义域为(0，＋∞)．

又y′=－1=，令y′=0得x=1，

当x∈(0,1)时，y′＞0，函数递增；

当x∈(1，e]时，y′＜0，函数递减．

当x=1时，函数取得最大值－1.]　

3．已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2在x=1处有极值10，则f(2)等于(　　)

A．11或18 B．11

C．18 D．17或18

C　[f′(x)=3x2＋2ax＋b，

∴⇒

⇒或.

经检验符合题意，

∴f(2)=23＋4×4＋2×(－11)＋16=18.]

4．已知a∈R，若f(x)=ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是(　　)

A．a＜0 B．a＞0

C．a≤1 D．a≥0

B　[f′(x)=(ax2＋x－1)，

若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，

则f′(x)=0在(0,1)上有且只有一个零点，

显然＞0，问题转化为g(x)=ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，

故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故选B.]

5．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)=ln x－ax存在最大值0，则a的值为(　　)

A．1　　 B．2 

C．e　 D.

D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)=－a=0，解得x=，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，∴f(x)max=f=ln－1=0，解得a=，故选D.]

二、填空题

6．函数y=2x－的极大值是________．

－3　[y′=2＋，令y′=0，即2＋=0，

解得x=－1，当x＜－1时，y′＞0，

当－1＜x＜0时，y′＜0，因此当x=－1时，函数有极大值，极大值为－2－1=－3.]

7．(2018·贵州质检)设直线x=t与函数h(x)=x2，g(x)=ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为________．

　[由题意，M(t，t2)，N(t，ln t)，

∴|MN|=|t2－ln t|，令f(t)=t2－ln t(t＞0)，

∴f′(t)=2t－=；

当f′(t)＞0时，t＞，

当f′(t)＜0时，0＜t＜，

∴f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数，

∴f(x)min=f=－ln ＞0，

∴当t=时，|MN|达到最小值，最小值为－ln .]

8．已知函数f(x)=－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

(0,1)∪(2,3)　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=－x＋4－=，令f′(x)=0得x=1或x=3，经检验知x=1或x=3是函数f(x)的两个极值点，由题意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.]

三、解答题

9．已知函数f(x)=ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

[解]　(1)f′(x)=ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)=4，f′(0)=4，故b=4，a＋b=8.

从而a=4，b=4.

(2)由(1)知f(x)=4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)=4ex(x＋2)－2x－4

=4(x＋2)

令f′(x)=0，得x=－ln 2或x=－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上递增，

在(－2，－ln 2)上递减．

当x=－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)=4(1－e－2)．

10．已知函数f(x)=ax3＋bx＋c在点x=2处取得极值c－16.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

[解]　(1)因为f(x)=ax3＋bx＋c，

故f′(x)=3ax2＋b.

由于f(x)在点x=2处取得极值c－16，

故有即

化简得解得

(2)由(1)知f(x)=x3－12x＋c，

f′(x)=3x2－12=3(x－2)(x＋2)，

令f′(x)=0，得x1=－2，x2=2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，

故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x=－2处取得极大值，

f(－2)=16＋c，

f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c－16.

由题设条件知16＋c=28，解得c=12.

此时f(－3)=9＋c=21，f(3)=－9＋c=3，

f(2)=－16＋c=－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)=－4.

B组　能力提升

1．若函数f(x)=x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)

A．2b－ B．b－

C．0 D．b2－b3

A　[f′(x)=x2－(b＋2)x＋2b=(x－2)(x－b)，

令f′(x)=0得x=2或x=b，由题意知－3＜b＜1.

当b＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，因此x=2时，f(x)有极小值，且f(2)=－4＋4b=2b－，故选A．]

2．若函数f(x)=2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．

C．[1,2) D．

B　[f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=4x－=.

由f′(x)=0得x=，由题意知解得1≤k＜.故选B.]

3．已知函数f(x)=x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．

2　[f′(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，当x∈[0,1]时，f′(x)＜0，因此f(x)在区间[0,1]上是减函数，则f(x)min=f(1)=m－=，解得m=2.]

4．(2018·北京高考)设函数f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.

(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；

(2)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，

所以f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex.

f′(2)=(2a－1)e2.

由题设知f′(2)=0，即(2a－1)e2=0，解得a=.

(2)由(1)得f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex=(ax－1)(x－1)ex.

若a＞1，则当x∈时，f′(x)＜0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在x=1处取得极小值．

若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，

所以f′(x)＞0.

所以1不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．