高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线一课一练

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思维导图





新课标要求


1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。


2.了解抛物线的简单应用。





知识梳理


1．抛物线的定义


平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．


2．抛物线的标准方程


3.抛物线的简单几何性质





4.直线与抛物线y2＝2px的位置关系及判定











名师导学


知识点1 求抛物线的标准方程


【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．


(1)准线方程为x＝－1；


(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；


(3)经过点(－3，－1)．





























【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．


(1)准线方程为y＝－2；


(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；


(3)过点(1，－2)．






































知识点2 根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程


【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．


(1)y2＝－4x；


(2)y＝4x2；


(3)3x2＋2y＝0；


(4)y2＝ax(a＞0)．





























【变式训练2-1】(1)已知抛物线x2＝ay的准线方程是y＝－eq \f(1,4)，则a＝________.


(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )


A．2 B．3


C．4 D．8





知识点3 抛物线定义的应用


【例3-1】(1)若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )


A．椭圆 B．双曲线


C．抛物线 D．直线


(2)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )


A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(5,4) D．eq \f(7,4)


(3)(2019·晋中市期末)已知直线l1：3x－4y－6＝0，直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是( )


A．2 B．3


C．4 D．eq \f(33,8)


【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，且与直线x＝－eq \f(p,2)相切，其中p>0，求动圆圆心的轨迹方程；


(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，


在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．





























知识点4 抛物线的简单几何性质


【例4-1】设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝( )


A.eq \f(4\r(3),3) B．8


C.eq \f(8\r(3),3) D．eq \f(16,3)


【变式训练4-1】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq \r(3)，则△PAF的面积为( )


A．2eq \r(3) B．4eq \r(3)


C．8 D．8eq \r(3)


【变式训练4-2】已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程．

















知识点5 抛物线的焦点弦的性质及应用


【例5-1】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：


(1)|AB|＝x1＋x2＋p；


(2)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)；


(3)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；


(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).






































【变式训练5-1】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.


(1)求l的方程；


(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．





























知识点6 直线与抛物线的位置关系的判断


【例6-1】已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？



































【变式训练6-1】如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．























知识点7 弦长、中点弦问题


【例7-1】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.

















【变式训练7-1】(2019·台州市月考)过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝eq \f(5,4)m，则m＝( )


A．6 B．8


C．10 D．12


知识点8 抛物线中的定点、最值问题


【例8-1】如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.


(1)证明：直线AB必过一定点；


(2)求△AOB面积的最小值．



































【变式训练8-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，n)(n>0)在抛物线C上，|PF|＝3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点．


(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；


(2)求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值．






































名师导练


3.3.1 抛物线及其标准方程


A组-[应知应会]


1．到定点F(1，－1)的距离与到直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是( )


A．抛物线 B．椭圆


C．双曲线的一支 D．直线


2．已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )


A．x＝8 B．x＝－8


C．x＝4 D．x＝－4


3．(2019·杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )


A.eq \r(10) B．4 C.eq \r(15) D．5


4．若椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(4y2,p2)＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为( )


A．3 B．eq \r(3) C.eq \r(6) D．6


5．(2019·牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是( )


A．y2＝－x B．y2＝2x


C．2x2＝y D．x2＝－4y


6．(2019·运城期末)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A(－2,1)的距离之和最小，则点P的坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))


C．(－2，－2eq \r(2)) D．(－2,2eq \r(2))


7．在抛物线y2＝－2px(p>0)中，p的几何意义是 ____________________________________________


8．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的焦点，则p＝________.


9．(2019·南阳市一中开学考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为________．


10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．

















11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试判断|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差数列．


























12．(2019·南阳一中检测)已知定点A(1,0)，定直线l：x＝－2，动点P到点A的距离比点P到l的距离小1.


(1)求动点P的轨迹C的方程；


(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))<0，求直线l的斜率的取值范围．





























B组-[素养提升]


(2019·北京十二中期中)设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是( )


A．1 B．2


C．3 D．4


3.3.2 抛物线的简单几何性质


A组-[应知应会]


1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为( )


A．x＋4＝0 B．x－4＝0


C．y2＝8x D．y2＝16x


2．若抛物线y2＝x上一点M到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M的坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，－\f(\r(2),4)))


3．(2019·福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点A(k，－2)与点F的距离为4，则k的值为( )


A．4 B．4或－4


C．－2 D．－2或2


4．(2019·保定模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：


①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题为( )


A．①③ B．①④


C．②③ D．②④


5．(2019·郑州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝( )


A．10 B．8


C．6 D．4


6．(2019·马鞍山市阶段测试)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若eq \(MF,\s\up6(→))＝4eq \(FN,\s\up6(→))，则直线l的斜率为( )


A．±eq \f(3,2) B．±eq \f(2,3)


C．±eq \f(3,4) D．±eq \f(4,3)


7．(2019·凯里市期末)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则此抛物线的方程为________．


8．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是________．





9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________．


10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．


























11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．


(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；


(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．















































12．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0，－2)的距离比它到x轴的距离大2，记点M的轨迹为C.


(1)求轨迹C的方程；


(2)若直线y＝2x＋b与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围．


























B组-[素养提升]


(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.


(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；


(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.























3.3.3 直线与抛物线的位置关系


A组-[应知应会]


1．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为( )


A．y2＝8x B．y2＝－8x


C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y


2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )


A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0


C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0


3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )


A．直线与抛物线有一个公共点


B．直线与抛物线有两个公共点


C．直线与抛物线有一个或两个公共点


D．直线与抛物线可能没有公共点


4．(2019·郑州市期中)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以eq \f(p,2)为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则eq \f(|AB|,|CD|)＝( )


A．16 B．4


C.eq \f(8,3) D．eq \f(5,3)


5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为( )


A．x＝1 B．x＝2


C．x＝－1 D．x＝－2


6．(2019·绵阳模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为eq \f(3\r(2),4)，则点A的坐标为( )


A．(0，±2) B．(0,2)


C．(0，±4) D．(0,4)


7．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2＝2x上，且斜边AB和y轴平行，则直角△ABC斜边上的高的长度为________．


8．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的弦的中点坐标为________．


9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线eq \f(x2,a)－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为________．


10．(2019·平顶山调研)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．


















































11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程．
























































12．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．


(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；


(2)证明：∠ABM＝∠ABN.


























B组-[素养提升]


(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．


(1)求抛物线C的方程及其准线方程；


(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．


图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px


(p＞0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px


(p＞0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p＞0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象
性质
范围
x≥0，


y∈R
x≤0，


y∈R
y≥0，


x∈R
y≤0，


x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
离心率
e＝1
位置关系
公共点
判定方法
相交
1个或2个


公共点
k＝0或


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0,Δ＞0))
联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ
相切
一个公


共点
Δ＝0
相离
无公共点
Δ＜0