高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试同步达标检测题

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一．单项选择题


1．（2020春•广州期末）已知空间直角坐标系中两点，0，、，5，，则


A．6B．7C．D．


【分析】利用两点间距离公式直接求解．


【解答】解：空间直角坐标系中两点，0，、，5，，


．


故选：．


2．（2020•江苏模拟）若向量，，和，，满足条件，则的值是


A．B．0C．1D．2


【分析】直接代入数量积求解即可．


【解答】解：因为，，和，，满足条件，


即；


故选：．


3．（2019秋•金台区期末）如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则





A．B．


C．D．


【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．


【解答】解：如图所示，连接


，分别是四面体的边，的中点，是的中点，


，，，


．


故选：．





4．（2020春•如东县期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为


A．B．C．D．


【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．


【解答】解：在长方体中，，，


以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，


，2，，，2，，，0，，，0，，


，0，，，2，，，0，，


设平面的法向量，，，


则，取，得，，，


设直线与平面所成角为，


则直线与平面所成角的正弦值为：


．


故选：．





5．（2020•池州模拟）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为


A．，B．，C．，D．，


【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可．


【解答】解：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，


建立空间直角坐标系，如图所示；


设正方体内切球球心为，是该内切球的任意一条直径，


则内切球的半径为1，


所以，．


所以的取值范围是，．


故选：．





6．（2019秋•龙岩期末）在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则


A．9B．7C．5D．3


【分析】设，，，，根据题意，得到关于，的方程组，求出，，代入即可．


【解答】解：设，，，，


，，，


由，


，


由，得，


化简得，


以上方程组联立得，


则，，，，，


故选：．


7．（2020•嘉兴模拟）将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点，分别是线段和上的动点，则的取值范围为


A．，B．C．D．


【分析】推导出，由此能求出的值．


【解答】解：如图，








，


，，


，二面角的平面角的大小为，


，


，．


故选：．





8．（2020•浙江模拟）如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是





A．B．C．D．


【分析】连接，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解．


【解答】解：由底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，


得，．


设，由为线段的中点，可得．


由，可得．


以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．


则，，，，0，，，0，，设，，，


，，，．


设平面的一个法向量为，


由，取，得；


设平面的一个法向量为，


由，取，得．


平面与平面所成锐二面角的平面角为，


则．


令．


当时，．


的最大值为．


故选：．





二．多项选择题


9．（2019秋•建邺区校级期中）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，，2，，，2，．下列结论正确的有


A．B．


C．是平面的一个法向量D．


【分析】由得出，判断正确；


由得出，判断正确；


由且得出是平面的一个法向量，判断正确；


由是平面的法向量得出，判断错误．


【解答】解：对于，，，即，正确；


对于，，，即，正确；


对于，由，且，得出是平面的一个法向量，正确；


对于，由是平面的法向量，得出，则错误．


故选：．


10．（2019秋•泰安期末）已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合），那么下列选项中，正确的是


A．B．C．D．


【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量的性质即可判断出正误．


【解答】解：为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合），


则，，，或．


因此正确．


故选：．


11．（2019秋•苏州期末）已知向量，2，，，0，，，5，，下列等式中正确的是


A．B．


C．D．


【分析】．左边为向量，右边为实数，显然不相等．


．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．


．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．


．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．


【解答】解：．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；


．左边，2，，5，，右边，2，，5，，左边右边，因此正确．


．，7，，左边，右边，左边右边，因此正确．


．由可得：左边；，，，，左边右边，因此正确．


综上可得：正确．


故选：．


12．（2019秋•葫芦岛期末）若，，与的夹角为，则的值为


A．17B．C．D．1


【分析】利用向量夹角公式直接求解．


【解答】解：，，与的夹角为，


，


解得或．


故选：．


三．填空题


13．（2019秋•福州期末）已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则 ．


【分析】由，可得，即可得出．


【解答】解：，，


可得．


故答案为：．


14．（2019秋•未央区校级期末）为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数 ．


【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．


【解答】解：由题意得，，且，，，四点共面，





，


故答案为：．


15．（2019春•邗江区期中）如图在正方体中，已知，为底面的中心，为△的重心，则





【分析】，由此能求出结果．


【解答】解：在正方体中，


，为底面的中心，为△的重心，














．


故答案为：．


16．（2020•长春四模）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则二面角的余弦值为 ．若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是 ．





【分析】易知为二面角的平面角，利用相似的性质可求得，进而求得，由此得解二面角的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点的轨迹为经过，中点的线段，再根据对称性即可求得线段长度的最值，进而得到取值范围．


【解答】解：延长至，使得，连接，如图，


由于为正方体，由三垂线定理易知为二面角的平面角，


而，故，


，


；


以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，2，，，，0，，，2，，，2，，，0，，


则，，设平面的一个法向量为，则，


故可取，


又平面，


，


点的轨迹为经过，中点的线段，


根据对称性可知，当点在两个中点时，，当点在两个中点的中点时，，


故选段的长度范围是．


故答案为：，．





四．解答题


17．（2009春•杭州期中）在平行六面体中，，，，，．若，，


（1）用基底表示向量；


（2）求向量的长度．





【分析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，把已知的条件代入化简可得结果．


（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由


运算求得结果．


【解答】解：（1）由题意可得，


故．


（2）由条件得，，．，．


．


故．


18. （2019·辽宁模拟）在正方体中，为的中点，求证：平面．


【分析】本题考查利用空间向量证明线面平行．建立空间坐标系，通过证明与，共面即可证明结论．


【解答】证明：以D为原点，，，分别为x，y，z轴正方向


建立如图所示的空间直角坐标系．





设正方体的棱长为2，


则0，，0，，2，，2，，


1，，


，，，


，


与，共面，


平面．


又平面，


平面．


19.（2020·菏泽模拟） 已知正方体中，E为棱上的动点．


求证：


若平面平面EBD，试确定E点的位置．


【答案】解：证明：以D为坐标原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．





设正方体棱长a，则0，，a，，a，，0，，a，．


设a，，


a，，


，


，


，即．


设平面，平面EBD的法向量分别为，


a，，0，，a，，





取，


得，，


由平面平面EBD，得，


，即．


当E为的中点时，平面平面EBD．


20.（2020·宁波模拟） 如图，在长方体中，，，E，F分别为棱AD和的中点．





求异面直线BE和AF所成角的余弦值；


求平面与平面所成角的余弦值．


【分析】本题主要考查空间中异面直线所成的角、平面与平面所成的角、空间向量在立体几何中的应用等．考查者生的空间想象能力、运算求解能力，属中档题．建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，


求出相关向量即可求解；


分别求出平面与平面的一个法向量，即可求解．


【答案】解：在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示．


因为，E，F分别为棱AD和的中点，


所以2，，0，，0，，2，，2，，0，．


，，


设异面直线BE和AF所成的角为，


则．


故异面直线BE和AF所成角的余弦值为．


设平面和平面的法向量分别是，．


，，则取，则，，得为平面的一个法向量．


，，则，取，


则，得为平面的一个法向量．


设平面与平面所成的角为，则


．


故平面与平面所成角的余弦值为．


21. （2020·合肥调研）如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，M为线段AC的中点．





求证：平面平面；


求点C到平面的距离．


【分析】本题考查面面垂直的判断和性质，点到面的距离，属于中档题．


由题意可得平面，即可得证；


建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得解．


【解答】解：四边形是菱形，，


又，，是等边三角形．


点M为线段AC的中点，．


又，．


在等边中，，


又，，


，平面，而平面，


平面平面．





，平面平面，且交线为AC，


平面，直线MB，MC，两两垂直．


以点M为坐标原点，分别以MB，MC，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，


则，，，1，，


，，．


设平面的一个法向量为，


令，得，


点C到平面的距离．


22. （2020·I卷模拟）(如图1)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)，现将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B为直二面角，连接A1B，A1C(如图2)．





(1)求证：A1D⊥平面BCED；


(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．


解：(1)证明：∵等边△ABC的边长为3，且eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)，∴AD＝1，AE＝2.


在△ADE中，∠DAE＝60°，


∴由余弦定理得


DE＝ eq \r(12＋22－2×1×2×cs 60°)＝eq \r(3).


∵AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE.


折叠后有A1D⊥DE，二面角A1－DE－B是直二面角，


∴平面A1DE⊥平面BCED.


又平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，∴A1D⊥平面BCED.


(2)解法一：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°.





如图所示，作PH⊥BD于点H，连接A1H，A1P，


由(1)有，A1D⊥平面BCED，


而PH⊂平面BCED，


∴A1D⊥PH.


又A1D∩BD＝D，


∴PH⊥平面A1BD，


∴∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角．


设PB＝x(0≤x≤3)，则BH＝eq \f(x,2)，PH＝eq \f(\r(3),2)x，


在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，∴A1H＝eq \f(1,2)x.


在Rt△A1DH中，A1D＝1，DH＝2－eq \f(1,2)x，


由A1D2＋DH2＝A1H2，


得12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)x))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))2，


解得x＝eq \f(5,2)，满足0≤x≤3，符合题意．


∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝eq \f(5,2).


解法二：由(1)的证明，可知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.





以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz如图所示，


设PB＝2a(0≤2a≤3)，


则BH＝a，PH＝eq \r(3)a，DH＝2－a，


∴A1(0,0,1)，P(2－a，eq \r(3)a,0)，E(0，eq \r(3)，0)，


∴PA1＝(a－2，－eq \r(3)a,1)．


∵ED⊥平面A1BD，


∴平面A1BD的一个法向量为eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)．


∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，


∴sin 60°＝eq \f(|PA1·DE|,|\(PA,\s\up6(→))|·|\(DE,\s\up6(→))|)，


即eq \f(3a,\r(4a2－4a＋5)×\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝eq \f(5,4).


即PB＝2a＝eq \f(5,2)，满足0≤2a≤3，符合题意，


∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝eq \f(5,2).