湘教版九年级上册3.6 位似第2课时学案

这是一份湘教版九年级上册3.6 位似第2课时学案，共10页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．如图K－29－1，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )





图K－29－1


A．(0，0)，2 B．(2，2)，eq \f(1,2)


C．(2，2)，2 D．(1，1)，eq \f(1,2)


2.如图K－2－2，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以点O为位似中心，把△EFO缩小为原来的eq \f(1,2)，则点E的对应点E′的坐标为( )





图K－29－2


A．(2，－1)或(－2，1) B．(8，－4)或(－8，－4)


C．(2，－1) D．(8，－4)


二、填空题


3．2017·阿坝州如图K－29－3，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB＝1.5，则DE＝________．





图K－29－3


4．△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，6)，在平面直角坐标系中作△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且以原点O为位似中心，位似比为eq \f(1,2)，则△DEF的面积为________．





图K－29－4


5.如图K－29－4，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．


三、解答题


6．如图K－29－5，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．


(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍的图形，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；


(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；


(3)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．





图K－29－5








7一题多解如图K－29－6，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形是格点三角形，△ABC是一个格点三角形．


(1)在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；


(2)在图②中，以点O为位似中心，得△ABC放大为原来的2倍；


(3)在图③中，请画出所有与△ABC相似，且有一条公共边和一个公共角的格点三角形．





图K－29－6








1．[解析] B 如图所示，位似中心F的坐标为(2，2)，k的值为eq \f(FD,FO)＝eq \f(1,2)，故选B.





2．[解析] A 以点O为位似中心，把△EFO缩小为原来的eq \f(1,2)，则点E的对应点E′的坐标为[－4×(－eq \f(1,2))，2×(－eq \f(1,2))]或(－4×eq \f(1,2)，2×eq \f(1,2))，即(2，－1)或(－2，1)，故选A.


3．[答案] 4.5


[解析] ∵△ABC与△DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(3，0)，∴AO＝1，DO＝3，


∴eq \f(AO,DO)＝eq \f(AB,DE)＝eq \f(1,3).∵AB＝1.5，∴DE＝4.5.故答案为4.5.


4．[答案] 1


[解析] 如图所示，△ABC的面积为eq \f(1,2)×2×4＝4，∵△DEF与△ABC位似，且以原点O为位似中心，位似比为eq \f(1,2)，∴△DEF与△ABC的面积比为1∶4，则△DEF的面积为1.故答案为1.





5．[答案] (－2，0)


[解析] 如图所示，点P(－2，0)为等腰三角形OBA与等腰三角形ACD的位似中心．故答案为(－2，0)．





6．解：(1)如图所示，A1(4，2)，B1(2，－4)．





(2)如图所示，A2(0，2)，B2(－1，－1)．


(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形，如图，位似中心点M的坐标的(－4，2)．


7解：(1)△ABC与△DEF相似．理由：∵AB＝1，BC＝eq \r(5)，AC＝2 eq \r(2)；DE＝eq \r(2)，EF＝eq \r(10)，DF＝4，


∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(AC,DF)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴△ABC与△DEF相似．


(2)如图①所示，△A′B′C′即为所求．


(3)如图②所示，△ADC，△ABF和△CEB即为所求．





本章总结提升


【整合提升】


例1 [解析] D 令eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)＝eq \f(c,4)＝k(k≠0)，


则a＝2k，b＝3k，c＝4k，


∴eq \f(a＋b,c)＝eq \f(2k＋3k,4k)＝eq \f(5k,4k)＝eq \f(5,4).故选D.


例2 [解析] D ∵直线l1∥l2∥l3，


∴eq \f(EF,DE)＝eq \f(BC,AB).


∵AB＝5，BH＝1，CH＝2，


∴BC＝BH＋CH＝3，


∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,5)，∴eq \f(EF,DE)＝eq \f(3,5).故选D.


例3 [解析] (1)要证eq \f(EG,AD)＝eq \f(CG,CD)，只需证明△EGC∽△ADC；


(2)由(1)的结论及EG＝AF得eq \f(AF,AD)＝eq \f(CG,CD)，可证△ADF∽△CDG，从而得∠ADF＝∠CDG.


解：(1)证明：在△EGC和△ADC中，


∵∠EGC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，


∴△EGC∽△ADC，∴eq \f(EG,AD)＝eq \f(CG,CD).


(2)FD⊥DG.证明如下：


由题意易知四边形AFEG是矩形，


∴EG＝AF.


∵eq \f(EG,AD)＝eq \f(CG,CD)，∴eq \f(AF,AD)＝eq \f(CG,CD)，∴eq \f(AF,CG)＝eq \f(AD,CD).


∵∠C＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD＝90°，


∴∠C＝∠BAD，∴△ADF∽△CDG，


∴∠ADF＝∠CDG.


∵∠ADG＋∠CDG＝90°，


∴∠ADF＋∠ADG＝90°，


∴∠FDG＝90°，即FD⊥DG.


例4 [解析] C ∵52＋122＝132，


∴三边长为5，12，13的三角形是直角三角形，面积为eq \f(1,2)×5×12＝30.


∵两个三角形的相似比为eq \f(13,39)＝eq \f(1,3)，


∴则两个三角形的面积比为(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,9)，


∴较大的三角形的面积为30×9＝270.


故选C.


例5 [解析] 要求楼高AB，由太阳光所成影子的特点，可通过添加辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解．


解：过点D作DG⊥AB，与EF交于点H，则EH＝AG＝CD＝1.2 m，DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5 m.


因为EF∥AB，所以△DHF∽△DGB，


所以eq \f(FH,BG)＝eq \f(DH,DG)，即eq \f(0.5,BG)＝eq \f(0.8,30)，


解得BG＝18.75(m)，


所以AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0(m)．


答：楼高AB约为20.0 m.


例6 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点M1的坐标为(a－7，b－3)．





(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－1，－4)．


【章内专题阅读】


分类思想在相似三角形中的应用举例


江西 许生友 周水平


数学思想是数学的灵魂，是打开数学学习与研究之门的金钥匙．其中分类思想是数学思想中的一种重要的思想方法，本文举例说明分类思想在相似三角形中的应用．


一、对应边不确定


在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从A开始沿AB边向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以4 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？


[解析] 本题是一道动态开放探索性问题，解决这类问题的思路是：动中求“静”，“一般”中见“特殊”．由于点P，Q在移动过程中的路线都是∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边，所以只需夹∠B的两边对应成比例，则这两个三角形就相似，但没有明确∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边的对应关系，所以存在两种关系：△PBQ∽△ABC或△QBP∽△ABC.


解：设经过t s，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10－2t.


(1)当△PBQ∽△ABC时，有eq \f(PB,AB)＝eq \f(BQ,BC)，即eq \f(10－2t,10)＝eq \f(4t,20)，解得t＝2.5.


(2)当△QBP∽△ABC时，有eq \f(QB,AB)＝eq \f(BP,BC)，


即eq \f(4t,10)＝eq \f(10－2t,20)，解得t＝1.


所以经过1 s或2.5 s，△PBQ与△ABC相似．


二、对应角不确定


如图，∠A＝50°，∠B＝60°，一直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似？





[解析] 显然∠C＝70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似．


解：(1)当∠ADE＝∠C＝70°时，△ABC∽△AED.


(2)当∠ADE＝∠B＝60°时，△ABC∽△ADE.


所以当∠ADE等于70°或60°时，△ABC与△ADE相似．


三、图形的位置不确定


如图，直角三角形铁片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3 cm和4 cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，要使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，应如何剪？





[解析] 要使剩下的边角料最少，就是要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行分类讨论．


解：(1)按图①的剪法，设正方形的边长为x cm，则AD＝(4－x)cm.


因为DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，


所以eq \f(AD,AC)＝eq \f(DE,CB)，即eq \f(4－x,4)＝eq \f(x,3)，解得x＝eq \f(12,7).


所以正方形DCFE的面积S1＝(eq \f(12,7))2＝eq \f(144,49)(cm2)．








图① 图②


(2)按图②的剪法，设正方形的边长为y cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，交DE于点M.


因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，


所以eq \f(DE,AB)＝eq \f(CM,CH).


因为AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5，


又因为CH·AB＝BC·AC，


所以CH＝eq \f(3×4,5)＝eq \f(12,5)(cm)，所以CM＝(eq \f(12,5)－y)cm，


所以eq \f(y,5)＝eq \f(\f(12,5)－y,\f(12,5))，解得y＝eq \f(60,37)，


故正方形DEFG的面积S2＝(eq \f(60,37))2＝eq \f(3600,1369)(cm2)．


因为eq \f(144,49)>eq \f(3600,1369)，所以S1>S2.


所以采用(1)的剪法可使正方形的面积最大，即剩下的边角料最少．