初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦第3课时导学案

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦第3课时导学案，共10页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．若∠A为锐角，csA＝eq \f(\r(2),2)，则∠A的度数为( )


A．75° B．60° C．45° D．30°


2．用计算器计算cs44°的结果是(精确到0.01)( )


A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66


3．2017·湖州如图K－32－1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是eq \a\vs4\al(链接听课例1归纳总结)( )





图K－32－1


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)


4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.若sinA＝eq \f(1,2)，则csA等于( )


A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．1


5．下列计算正确的是( )


A．sin30°＋sin45°＝sin75°


B．cs30°＋cs45°＝cs75°


C．sin60°－cs30°＝cs30°


D.eq \f(sin60°,cs30°)－1＝0


6．下列式子正确的是( )


A．sin55°＜cs36° B．sin55°＞cs36°


C．sin55°＝cs36° D．sin55°＋cs36°＝1


7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝eq \f(3,5)，AC＝eq \f(3,2)，则AC＋AB的值为( )


A．4 B．8 C．1 D．6


8．在直角坐标系中，直线y＝－2(x－1)＋1与x轴所夹锐角的余弦值是( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)


9．因为cs60°＝eq \f(1,2)，cs240°＝－eq \f(1,2)，所以cs240°＝cs(180°＋60°)＝－cs60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时，cs(180°＋α)＝－csα，由此可知：cs210°＝( )


A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \r(3)


10．如图K－32－2，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( )





图K－32－2


A．不变 B．逐渐增大


C．逐渐减小 D．先变大再变小


二、填空题


11．计算：sin60°×cs30°－eq \f(1,2)＝________.


12．已知csα＝0.25，则α≈________(精确到0.01°)．


13．用不等号连接下面的式子：


(1)cs30°________cs28°；


(2)sin45°________sin55°.eq \a\vs4\al(链接听课例4归纳总结)


14．已知eq \f(\r(3),2)＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________．


三、解答题


15．求下列各式的值：


(1)1＋sin245°＋cs245°；




















(2)2sin30°－2cs60°＋sin45°－cs45°.























16．已知：如图K－32－3，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求AB边上的高．(精确到0.01)





图K－32－3

















17．在△ABC中，锐角∠A，∠B满足|2sinA－1|＋(2csB－eq \r(2))2＝0，求∠C的度数．
































18．如图K－32－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于点D，AC＝12，试求：


(1)sinA的值；


(2)cs∠ACD的值；


(3)CD的长．





图K－32－4























19．(1)锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的确定(变化)而确定(变化)，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．


(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°角，正弦值的大小和余弦值的大小．


(3)比较大小：若α＝45°，则sinα________csα；若0°＜α＜45°，则sinα________csα；若45°＜α＜90°，sinα________csα.(填“>”“<”或“＝”)














20阅读与分类讨论思想阅读下列解题过程：


若锐角α满足45°＜α＜90°，且sinαcsα＝eq \f(1,8)，求sinα－csα的值．


解：由45°＜α＜90°，得sinα＞csα，


即sinα－csα＞0.


又sin2α＋cs2α＝1，


且sinαcsα＝eq \f(1,8)，


∴(sinα－csα)2＝sin2α－2sinαcsα＋cs2α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，


∴sinα－csα＝eq \f(\r(3),2).


∴sinα－csα的值为eq \f(\r(3),2).


解决问题：


(1)若将条件中α的范围改为“0°＜α＜45°”，且sinαcsα＝eq \f(1,8)，求sinα－csα的值；


(2)若α为锐角，sinαcsα＝eq \f(1,8)，求sinα－csα的值．




















1．[答案] C


2．[答案] B


3．[答案] A


4．[答案] A


5．[解析] D eq \f(sin60°,cs30°)－1＝eq \f(\f(\r(3),2),\f(\r(3),2))－1＝1－1＝0.故选D.


6．[解析] B ∵cs36°＝sin(90°－54°)＝sin54°，而sin55°＞sin54°，∴sin55°＞cs36°.故选B.


7．[答案] A


8．[解析] C 直线y＝－2(x－1)＋1＝－2x＋3，如图所示，可得BO＝eq \f(3,2)，AO＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \f(3 \r(5),2)，


∴直线y＝－2(x－1)＋1与x轴所夹锐角的余弦值是eq \f(BO,AB)＝eq \f(\f(3,2),\f(3\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5).故选C.





9．[解析] C ∵cs(180°＋α)＝－csα，∴cs210°＝cs(180°＋30°)＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).故选C.


10．[解析] C 方法一：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE.设∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC·csα，BE＝DB·csα，∴BE＋CF＝(DB＋DC)csα＝BC·csα.∵∠ABC＝90°，∴0°＜α＜90°.当点D从点B向点C运动时，α是逐渐增大的，∴csα的值是逐渐减小的，∴BE＋CF＝BC·csα的值是逐渐减小的．故选C.方法二(面积法)：S△ABC＝eq \f(1,2)·AD·CF＋eq \f(1,2)·AD·BE＝eq \f(1,2)·AD·(CF＋BE)，∴CF＋BE＝eq \f(2S△ABC,AD).∵点D沿BC自点B向点C运动时，AD逐渐增加，∴CF＋BE的值逐渐减小．


11．[答案] eq \f(1,4)


12．[答案] 75.52°


13、[答案] (1)＜ (2)＜


14．[答案] 20°＜∠A＜30°


[解析] ∵eq \f(\r(3),2)＜csA＜sin70°，sin70°＝cs20°，∴cs30°＜csA＜cs20°，∴20°＜∠A＜30°.故答案为20°＜∠A＜30°.


15．解：(1)原式＝1＋(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(2),2))2＝2.


(2)原式＝2×eq \f(1,2)－2×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)＝0.


16．解：过点C作CH⊥AB，垂足为H.


∵在Rt△ACH中，sinA＝eq \f(CH,AC)，


∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.





17．解：∵|2sinA－1|＋(2csB－eq \r(2))2＝0，


∴2sinA－1＝0，2csB－eq \r(2)＝0，


∴sinA＝eq \f(1,2)，csB＝eq \f(\r(2),2)，


∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝105°.


18．解：(1)由BC＝5，AC＝12，


得AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝13，所以sinA＝eq \f(5,13).


(2)cs∠ACD＝sinA＝eq \f(5,13).


(3)因为sinA＝eq \f(CD,AC)，


所以CD＝AC·sinA＝12×eq \f(5,13)＝eq \f(60,13).


或由面积公式，得eq \f(1,2)×13CD＝eq \f(1,2)×5×12，解得CD＝eq \f(60,13).





19．解：(1)如图①，令AB1＝AB2＝AB3，作B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC.∵sin∠B1AC＝eq \f(B1C1,AB1)，sin∠B2AC＝eq \f(B2C2,AB2)，sin∠B3AC＝eq \f(B3C3,AB3)，而eq \f(B1C1,AB1)＞eq \f(B2C2,AB2)＞eq \f(B3C3,AB3)，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC.如图②，已知Rt△ACB3中，∠C＝90°，cs∠B1AC＝eq \f(AC,AB1)，cs∠B2AC＝eq \f(AC,AB2)，cs∠B3AC＝eq \f(AC,AB3).∵AB3＞AB2＞AB1，∴eq \f(AC,AB1)＞eq \f(AC,AB2)＞eq \f(AC,AB3)，即cs∠B3AC＜cs∠B2AC＜cs∠B1AC.


结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．


(2)由(1)可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cs88°＜cs62°＜cs50°＜cs34°＜cs18°.


(3)若α＝45°，则sinα＝csα；若0°＜α＜45°，则sinα＜csα；若45°＜α＜90°，则sinα＞csα.故答案为＝，＜，＞.


20解：(1)由0°＜α＜45°，得sinα＜csα，即sinα－csα＜0.


sinα－csα＝－eq \r(（sinα－csα）2)＝－eq \r(sin2α＋cs2α－2sinαcsα)＝－eq \r(1－2×\f(1,8))＝－eq \f(\r(3),2).


(2)∵sin2α＋cs2α＝1，且sinαcsα＝eq \f(1,8)，


∴(sinα－csα)2＝sin2α－2sinαcsα＋cs2α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，


∴|sinα－csα|＝eq \f(\r(3),2).


当0°＜α＜45°时，sinα－csα＜0，


∴sinα－csα的值为－eq \f(\r(3),2)；


当45°＜α＜90°时，sinα－csα＞0，


∴sinα－csα的值为eq \f(\r(3),2).