初中数学4.2 正切导学案

这是一份初中数学4.2 正切导学案，共11页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．如图K－33－1，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于( )





图K－33－1


A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)


2．若tan(α＋10°)＝ eq \r(3)，则锐角α的度数是( )


A．20° B．30° C．35° D．50°


3.2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图K－33－2所示(每个小正方形的边长均为1)，AD⊥BC于点D，则下列四个选项中错误的是( )





图K－33－2


A．sinα＝csα B．tanC＝2


C．sinβ＝csβ D．tanα＝1


4．在△ABC中，若锐角A，B满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(csA－\f(\r(3),2)))＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是( )


A．45° B．60° C．75° D．105°


5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(2,3)，那么tanB的值是( )


A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(2,3)


6．如图K－33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边的中点)的长是( )





图K－33－3


A．5sin36°米 B．5cs36°米


C．5tan36°米 D．10tan36°米


7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K－33－4，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为( )





图K－33－4


A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C．1＋eq \r(3) D.eq \r(3)－1


二、填空题


8．如图K－33－5所示，BC是一条河的直线河岸，A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于点B，站在河岸的C处测得∠BCA＝50°，BC＝10 m，则桥长AB的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)．





图K－33－5


9．如图K－33－6，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，则tan∠BPC＝________.





图K－33－6


10．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA＝________．


三、解答题


11．计算：(1)3sin60°－cs30°＋2tan45°；


























(2)eq \f(tan45°,tan30°)－eq \f(cs45°,sin60°·tan60°).
































12．如图K－33－7，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝2，CD＝8，tan∠BAC＝2，求tanD的值.





图K－33－7























13．如图K－33－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．


(1)求证：△ACE≌△AFE；


(2)求tan∠CAE的值．





图K－33－8




















14．如图K－33－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，tanA＝eq \f(\r(3),3)，AD＝20.求BC的长．





图K－33－9


























15．已知：如图K－33－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE∶AB＝3∶5，若CE＝eq \r(2)，cs∠ACD＝eq \f(4,5)，求tan∠AEC的值及CD的长．





图K－33－10























16新定义问题在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°.若定义ctA＝eq \f(∠A的邻边,∠A的对边)＝eq \f(b,a)，则称它为锐角A的余切．根据这个定义解答下列问题：


(1)ct30°＝__________；


(2)已知tanA＝eq \f(3,4)，其中∠A为锐角，试求ctA的值；


(3)求证：tanA＝ct(90°－∠A)．








1．[解析] C 过点P作PE⊥x轴于点E.


∵点P的坐标为(12，5)，∴PE＝5，OE＝12，


∴tanα＝eq \f(PE,OE)＝eq \f(5,12).





2．[答案] D


3．[解析] C 由图可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2 eq \r(2)，CD＝1，AC＝eq \r(5)，∴sinα＝csα＝eq \f(\r(2),2)，故A正确；tanC＝eq \f(AD,CD)＝2，故B正确；tanα＝eq \f(BD,AD)＝1，故D正确；∵sinβ＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(2 \r(5),5)，∴sinβ≠csβ，故C错误．故选C.


4．[解析] D 由题意得csA＝eq \f(\r(3),2)，tanB＝1，


则∠A＝30°，∠B＝45°，


则∠C＝180°－30°－45°＝105°.


5．[解析] A ∵sinA＝eq \f(BC,AB )＝eq \f(2,3)，∴设BC＝2x，AB＝3x，由勾股定理得：AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(5)x，∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(5)x,2x)＝eq \f(\r(5),2).故选A.


6．[解析] C ∵BC＝10米，D为底边的中点，∴DC＝BD＝5米．


∵AB＝AC，∴AD⊥BC.


在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝eq \f(AD,BD)，


即AD＝BD·tan36°＝5tan36°(米)．


7．[解析] B 在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝BD＝2k，∠BAD＝∠BDA＝15°，∴∠CAD＝90°－∠BDA＝75°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq \r(3)k，在Rt△ACD中，CD＝BC＋BD＝eq \r(3)k＋2k，则tan75°＝tan∠CAD＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(3)k＋2k,k)＝2＋eq \r(3).故选B.


8．[答案] 11.9


[解析] 在△ABC中，∵AB⊥BC，


∴tan∠BCA＝eq \f(AB,BC).


又∵BC＝10 m，∠BCA＝50°，


∴AB＝BC·tan50°＝10×tan50°≈11.9(m)．


9．[答案] eq \f(4,3)





[解析] 过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC＝5，∴BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC.


∵∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.


在Rt△BAE中，由勾股定理得


AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r( 52－42)＝3，


∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(4,3).


10．[答案] eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3)


[解析] 分两种情况：(1)如图①，BD是AC边上的中线，BD＝AC.设AD＝CD＝k，则BD＝AC＝2k.在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，∴BC＝eq \r(BD2－CD2)＝eq \r(3)k，∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(3)k,2k)＝eq \f(\r(3),2)；(2)如图②，AD是BC边上的中线，AD＝BC.设BD＝CD＝k，则AD＝BC＝2k.在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(3)k，∴tan∠CAB＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2k,\r(3)k)＝eq \f(2 \r(3),3).综上可知，tanA的值为eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3).





11．解：(1)原式＝3×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＋2×1＝eq \r(3)＋2.


(2)原式＝eq \f(1,\f(\r(3),3))－eq \f(\f(\r(2),2),\f(\r(3),2)×\r(3))＝eq \r(3)－eq \f(\r(2),3).


12．[解析] 利用tan∠BAC＝2，AB＝2，先求得BC＝4，再利用勾股定理求得AC＝2 eq \r(5)，所以tanD＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(\r(5),4).


解：在Rt△ABC中，tan∠BAC＝2，


即eq \f(BC,AB)＝2.又∵AB＝2，∴BC＝4，


∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(22＋42)＝2 eq \r(5).


在Rt△ACD中，tanD＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(2 \r(5),8)＝eq \f(\r(5),4).


13．解：(1)证明：因为AE平分∠CAB，


所以∠CAE＝∠BAE.


又∠C＝∠AFE＝90°，AE＝AE，


所以△ACE≌△AFE.


(2)设AB＝3x，则BF＝x，AF＝AC＝2x，


所以BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(9x2－4x2)＝eq \r(5)x.


由(1)知CE＝EF，设CE＝EF＝m，


在△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，


即(eq \r(5)x－m)2＝m2＋x2，


因为x≠0，所以m＝eq \f(2 \r(5),5)x，


故tan∠CAE＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(\f(2 \r(5),5)x,2x)＝eq \f(\r(5),5).


14．解：∵tanA＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.又∵BD平分∠ABC，AD＝20，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD＝BD＝20，∴DC＝10，即AC＝AD＋DC＝30.又∵tanA＝eq \f(BC,AC)，∴BC＝AC·tanA＝30×eq \f(\r(3),3)＝10 eq \r(3)，即BC的长为10 eq \r(3).


15．解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠ACD，∴cs∠ABC＝cs∠ACD＝eq \f(4,5)，∴在Rt△ABC中，cs∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，令BC＝


4k，AB＝5k，则AC＝3k，由BE∶AB＝3∶5，知BE＝3k，则CE＝k，且CE＝eq \r(2)，则k＝eq \r(2)，∴AC＝3 eq \r(2)，


∴Rt△ACE中，tan∠AEC＝eq \f(AC,CE)＝3.∵Rt△ACD中，cs∠ACD＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(4,5)，∴CD＝eq \f(12 \r(2),5).


16解：(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，


设∠A＝30°，则AB＝2BC，AC＝eq \r(3)BC，


所以ct30°＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(3)BC,BC)＝eq \r(3).


故答案为eq \r(3).





(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，


∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，


∴可设BC＝3k，则AC＝4k，


∴ctA＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4k,3k)＝eq \f(4,3).


(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，


则∠A＋∠B＝90°，


即∠B＝90°－∠A.


∵tanA＝eq \f(BC,AC)，ctB＝eq \f(BC,AC)，


∴tanA＝ctB，


即tanA＝ct(90°－∠A)．