2020版江苏高考数学一轮复习学案：第37课《基本不等式及其简单应用（1）》(含解析)

____第37课__基本不等式及其简单应用(1)____

1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理，了解其证明过程．

2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.  阅读：必修5第96～98页．

2.  解悟：①什么是教材规定的基本不等式？需要怎样的使用条件？证明其正确性有哪几种证法？②基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件？③“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的？请用符号语言表示出来；④教材必修5第98页关于基本不等式的几何解释，你能理解吗？

3.  践习：在教材空白处，完成必修5第98～99页练习第2、3、4、5题.

　基础诊断　

1. 已知mn＝8(m>0，n>0)，则m＋n的最小值为__4__．

解析：因为m>0，n>0，所以m＋n≥2＝4，当且仅当m＝n＝2时，等号成立．

2. 下列命题正确的是__②__．(填序号)

①函数y＝x＋的最小值是2；

②函数y＝sinx＋，x∈的最小值是2；

③函数y＝的最小值是2；

④函数y＝2－3x－的最大值是2－4.

解析：对于①，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x＝0时，y＝x＋无意义，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2，当且仅当x＝y＝－1时取等号，故y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，无最小值；对于②，因为x∈，所以sinx∈(0，1]，y＝sinx＋≥2，当且仅当sinx＝1，即x＝时取等号，故②正确；对于③，y＝＝＋，令t＝，则y＝t＋，t∈[2，＋∞)．因为y＝t＋在[2，＋∞)上为增函数，所以ymin＝2＋＝，故③错误；对于④，当x>0时，y＝2－3x－≤2－2＝2－4，当且仅当x＝时取等号．当x<0时，y＝2－3x－≥2＋4.当且仅当x＝－时取等号，故④错误．

3. 已知x<，则函数f(x)＝4x－2＋的最大值为__1__．

解析：因为x<，所以4x－5<0，所以y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－(5－4x＋)≤3－2＝1，当且仅当x＝1时取等号，所以f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

4. 设a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为__4__．

解析：因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)·＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．

　范例导航　

考向❶  通过简单构造和变形，运用基本不等式求最值

例1　求函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值．

解析：因为x>2，所以x－2>0，

所以f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3∈(2，＋∞)时取等号．所以当x＝3时，函数f(x)min＝4.

当x>0时，求函数f(x)＝的最大值．

解析：因为x>0，所以f(x)＝＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1∈(0，＋∞)时，取等号，所以当x＝1时，函数f(x)max＝1.

【注】 本例突出构造x＋型，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在．

考向❷  通过常值代换，运用基本不等式求最值

　　例2　已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．

解析：方法一：因为2x＋y＝1，

又因为x>0，y>0，所以>0，>0，

所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝，即y2＝2x2，y＝x，即当x＝1－，y＝－1＋时取等号，

所以当x＝1－，y＝－1＋时，＋的最小值为3＋2. 

方法二：因为2x＋y＝1，

又因为x>0，y>0，所以>0，>0，

所以＋＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

以下同方法一．

如图，已知函数y＝ax＋b(b>0)的图象经过点(1，3)．求＋的最小值. 

解析：因为函数y＝ax＋b(b>0)的图象经过点(1，3)，所以a＋b＝3.

又由图象可知a>1.

因为b>0，所以1<a<3，a－1>0，

所以＋＝＋·＝＋＋≥＋2＝，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取得等号，所以＋的最小值为.

【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”，通过计算变形转化为含有x＋的形式，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在.

考向❸  参数的取值范围与恒成立问题

例3　设k>0，若关于x的不等式kx＋≥5在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围．

解析：因为x>1，所以x－1>0.

因为k>0，kx＋≥5，

所以k(x－1)＋≥5－k，

所以k(x－1)＋≥2＝4，

当且仅当k(x－1)＝时取等号．

所以4≥5－k，即()2＋4－5≥0，

所以≥1，所以k≥1，

所以实数k的取值范围是[1，＋∞)．

【注】 本例重点学习“将恒成立问题转化为用基本不等式解决”，要关注式子的结构形式及转化途径，在运用基本不等式时，紧紧抓住“正、定、等”.

【变式题】 已知不等式x2＋a|x|＋1≥0 对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立；

当x≠0时，因为x2＋a|x|＋1≥0，

所以a≥－＝－，

因为|x|＋≥2，

当且仅当x＝±1时取等号，

所以－≤－2，

所以a≥－2.

　自测反馈　

1. 已知0<x<4，则＋的最小值为____．

解析：因为＋＝(＋)＝1＋＋＋≥＋1＝，当且仅当＝，即x＝时取等号．

2. 已知正实数x，y满足＝16，则x＋y的最小值为__8__．

解析：因为正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，所以x＝＋1，所以x＋y＝＋y＋1≥2＝8，当且仅当y＝3，x＝5时取等号，所以x＋y的最小值为8.

3. 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为__1__．

解析：因为ax＝by＝3，所以x＝loga3＝，y＝logb3＝，所以＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3＝1，当且仅当a＝b＝时取等号．

4. 已知正数x，y使得x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为__2__．

解析：因为正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，所以λ≥.因为2≤x＋2y，所以≤＝2，所以λ≥2，所以实数λ的最小值为2.

1. 应用基本不等式求最大(小)值时，要注意“一正、二定、三相等”．

2. 利用基本不等式求最值中，条件最值问题往往运用常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值．

3. 你还有哪些体悟，写下来：