2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第5讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、知识梳理

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)

常用结论

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．

二、习题改编

1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin

的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

答案：A

2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为        ．

解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.

答案：y＝6－cos x

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)

(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)

(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)

(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

二、易错纠偏

(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；

(2)确定不了函数解析式中φ的值．

1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝        ．

解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.

答案：2sin

2．(2020·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝        ．

解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝－.所以f(x)＝2sin.

答案：2sin

　　　　　　五点法作图及图象变换(典例迁移)

已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．

【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a

＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a

＝2sin＋1＋a的最大值为2，

所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：

画图如下：

【迁移探究1】　(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移        个单位得到y＝f(x)的图象．

解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．

答案：

【迁移探究2】　(变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．

解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，

又因为m>0，所以m的最小值为.

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)

的图象的两种作法

[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．

1．(2020·广州市调研测试)由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　)

A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

解析：选A.由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin

＝2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin，选A.

2．(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为        ，g的值为        ．

解析：由题知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，

将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，

可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，

再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，

则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.

答案：π　3

　　　　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)

(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．g(x)＝sin  B．g(x)＝sin

C．g(x)＝sin 2x  D．g(x)＝sin

【解析】　根据题图有A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin

＝sin 2x.故选C.

【答案】　C

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝，b＝.

(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.

(3)求φ，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；

②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝        ．

解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.

所以A＝2，

同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，

所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

答案：2sin

2．(2020·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝        ．

解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.

答案：－

　　　　　　三角函数模型的简单应用(师生共研)

(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.

(1)求t＝时，A，B两点间的距离；

(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．

【解】　(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.

又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，

即A，B两点间的距离为.

(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，

所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，

即函数关系式为y＝cos(t＞0)，

当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.

三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；

(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．

　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为        ℃.

解析：因为f(t)＝10－2

＝10－2sin，又0≤t<24，

所以≤t＋<，

所以－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

答案：4

思想方法系列7　数形结合思想在三角函数中的应用

(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0，2)　　　　　　　 B．[0，2]

C．[1，＋1]  D．[1，＋1)

【解析】　关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m可化为sin 2x＋cos 2x＝m－1，即sin＝.

易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥.

令2x＋＝t，即sin t＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2.

作出y＝sin t的图象，如图所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，

所以－≤＜，

故0≤m＜2.故选A.

【答案】　A

本题是将方程根的问题转化为函数y＝sin与y＝的图象的交点，利用数形结合进行求解，可提升学生的直观想象能力．　

　函数f(x)＝3sin x－logx的零点的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选D.函数f(x)零点个数即为y＝3sin x与y＝logx的交点个数，如图，函数y＝3sin x与y＝logx有5个交点．

 [基础题组练]

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B.

C．1  D．

解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.

3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1  B．A＝3

C．ω＝  D．ω＝

解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.

4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝cos，

y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B.

5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)

A．－2  B．－

C.  D． 2

解析：选C.因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，得g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f＝2sin ＝，故选C.

6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是        ．

解析：y＝sin xy＝

siny＝sin.

答案：y＝sin

7．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝        ，函数f(x)的单调递增区间为        ．

解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

答案：2　(k∈Z)

8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝        ．

解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，

所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．

所以ω＝8k＋(k∈Z)，

因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，

所以－≤，即ω≤12，

令k＝0，得ω＝.

答案：

9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．

解：连接MP(图略)．

依题意，有A＝2，＝3，

又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.

当x＝4时，y＝2sin＝3，

所以M(4，3)．又P(8，0)，

所以|MP|＝＝5.

即M，P两点相距5 km.

10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．

(1)求函数h(x)的单调递增区间；

(2)若g＝，求h(α)的值．

解：(1)由已知可得g(x)＝sin，

则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由g＝得sin＝

sin＝，

所以sin＝－，即h(α)＝－.

[综合题组练]

1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)

A．(0，0)  B．(1，0)

C.  D．

解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D.

2．(2020·沈阳市质量监测(一))设函数f(x)＝sin，

则下列结论正确的是          ．(写出所有正确结论的序号)

①函数y＝f(x)的减区间为(k∈Z)；

②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到；

③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝；

④若x∈，则f(x)的取值范围是.

解析：对于①，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，①正确；对于②，y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，②错误；对于③，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，③错误；对于④，若x∈，则2x－∈，故f(x)∈，④正确．

答案：①④

3．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，

所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，

即x＝－时，g(x)取得最小值－.

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.

(1)求f的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．

解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，

所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

因为－≤φ＜，所以k＝0，

所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，

则f＝sin＝sin＝.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f

的图象，

所以g(x)＝f＝sin

＝sin.

当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．

因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．