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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章6第6讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
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第6讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.( )
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
函数y＝cos x|tan x|的图象为( )
解析：选C.因为|tan x|≥0，
所以当x∈时，cos x≥0，y≥0，
当x∈时，cos x≤0，y≤0.由图可知，故选C.
(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D.因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D.
已知函数f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为____________，周期T为____________，频率为________________________，初相φ为____________．
解析：振幅A＝2，T＝＝6，f＝，因为图象过点(0，1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝.
答案：2 6
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
解析：由题图可知，＝－＝，
即T＝，所以＝，故ω＝.
答案：
五点法作图及图象变换
[典例引领]
(2018·济南高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
【解】 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：
在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
②图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
③由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为而不是|φ|.
[提醒] y＝Asin(ωx＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T＝进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
解：根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的
解析式
[典例引领]
(2018·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)＝( )
A． B．
C．0 D．－
【解析】 由图知，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为在函数f(x)的图象上，所以sin＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为x1＋x2＝，所以f(x1)＋f(x2)＝sin＋sin＝sin＋sin＝sin＋sin＝0.
【答案】 C
本例的图象不变，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
解析：由本例解析知f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.
答案：
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
[通关练习]
1．(2017·高考天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A.由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝＞2π，所以0＜ω＜1，ω＝，又|φ|＜π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
2．(2018·兰州市实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
答案：－
三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)
三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．高考对三角函数的图象与性质的综合应用问题的考查主要有以下五个命题角度：
(1)图象变换与函数性质；
(2)恒等变换与函数性质；
(3)三角函数图象与性质；
(4)三角函数性质与平面向量；
(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．
[典例引领]
角度一 图象变换与函数性质
(2018·陕西省高三教学质量检测(一))将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象左移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－，选A.
【答案】 A
角度二 恒等变换与函数性质
(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝4tan x·sincos －.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tan xcos xcos －
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
角度三 三角函数图象与性质
(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为2；③f＝1；④f为奇函数．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题图知，周期T＝2＝π，
则ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝.
由f(0)＝，得Asin＝，即A＝2.
所以f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos＝1，
f＝2sin＝2sin 2x为奇函数．
所以四个结论都正确．
【答案】 D
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
[通关练习]
1．(2018·云南省第一次统一检测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1＋4kπ，1＋4kπ)，k∈Z
B．(－3＋8kπ，1＋8kπ)，k∈Z
C．(－1＋4k，1＋4k)，k∈Z
D．(－3＋8k，1＋8k)，k∈Z
解析：选D.由题图，知T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1，1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(8k－3，8k＋1)(k∈Z)，故选D.
2．(2018·广西三市第一次联考)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin，所以g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.
3．(2018·东北四市高考模拟)若关于x的方程2sin＝m在上有两个不等实根，则m的取值范围是( )
A．(1，) B．[0，2]
C．[1，2) D．[1，]
解析：选C.2sin＝m在上有两个不等实根等价于函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝m有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象，由图可知m的取值范围是[1，2)．
三角函数模型的简单应用
[典例引领]
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解】 (1)因为f(t)＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t＜24，所以≤t＋＜，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin＞11，
即sin＜－.
又0≤t＜24，因此＜t＋＜，
即10＜t＜18.
故在10时至18时实验室需要降温．
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：连接MP(图略)．
依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3)．又P(8，0)，
所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.
五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线的凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．
由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
3．(2018·昆明市教学质量检测)函数y＝sin的图象可由函数y＝cosx的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到，则m＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：选A.因为y＝sin＝
cos＝cos，
所以只需将函数y＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数y＝sin的图象，故选A.
4．(2018·福建省普通高中质量检查)若将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos＝3cos的图象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A.
5．(2018·贵阳市检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f的值为( )
A．2 B.
C．－ D．－
解析：选D.依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4＝π，ω＝2，又Aω＝1，因此A＝.因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故选D.
6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________．
解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝.
答案：2
7．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，
所以ω＝，所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－，
所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案：y＝6－cosx
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝________．
解析：因为图象经过点A(0，1)，B，
A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得ω＝3.
又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
所以1＝2sin φ，即sin φ＝，
所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin
9．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，因为0<ω<1，
所以当k＝0时，可得：ω＝.
所以f(x)＝2sin，令2kπ－
列表如下：
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作图如图：
10．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．
(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，
所以ω＝，
所以y＝10sin＋b.①
ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.
当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，
所以解析式为y＝10sin＋20，t∈[6，14]．
(2)由题意得，
20－5≤10sin＋20≤20＋5，
即－≤sin≤，
所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.
即8k－8≤t≤8k－4，
因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，
所以最佳营业时间为12－8＝4小时．
1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[6k－1，6k＋2](k∈Z)
B．[6k－4，6k－1](k∈Z)
C．[3k－1，3k＋2](k∈Z)
D．[3k－4，3k－1](k∈Z)
解析：选B.|AB|＝5，|yA－yB|＝4，所以|xA－xB|＝3，即＝3，
所以T＝＝6，所以ω＝.
因为f(x)＝2sin的图象过点(2，－2)，
即2sin＝－2，
所以sin＝－1，
又因为0≤φ≤π，所以≤＋φ≤，所以＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得6k－4≤x≤6k－1(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[6k－4，6k－1](k∈Z)．故选B.
2．(2018·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0
解析：由题图可知，M，N(xN，－1)，
所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
答案：3
4．(2018·福建省毕业班质量检测)已知A是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<2π)图象上的一个最高点，B，C是f(x)图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M(M>0)，使得f(x＋M)＝Mf(－x)，则该函数的解析式是f(x)＝________．
解析：由题意得|BC|＝(ω>0)，所以S△ABC＝××1＝，解得ω＝π，所以f(x)＝sin(πx＋φ)，所以f(－x)＝sin(－πx＋φ)，f(x＋M)＝sin[π(x＋M)＋φ]．因为存在常数M(M>0)，使得f(x＋M)＝Mf(－x)，又－1≤f(x＋M)≤1，－M≤Mf(－x)≤M，所以M＝1，所以sin[π(x＋1)＋φ]＝sin(－πx＋φ)，即sin(πx＋φ)＝sin(πx－φ)，因为0<φ<2π，所以φ＝π，所以f(x)＝sin(πx＋π)，所以f(x)＝－sin πx为所求的函数的解析式．
答案：－sin πx
5．(2018·福建三明一中期中测试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由题意知，A＝2，T＝，故T＝π，
所以ω＝＝2，
因为图象上一个最低点为M，
所以2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－＝2(k－1)π＋(k∈Z)，
又0<φ<，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，2x＋∈，
此时－≤sin≤1，
则－1≤f(x)≤2，
即f(x)的值域为[－1，2]．
6．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－
＝sin 2ωx＋－
＝sin，
又f(x)的最小正周期T＝，
所以T＝＝＝，
所以ω＝2，所以f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin，
当0≤x≤时，－≤2x－≤，
易知当－≤2x－≤，即0≤x≤π时，g(x)单调递增，且g(x)∈，当<2x－≤，即π
解得－
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.( )
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
函数y＝cos x|tan x|的图象为( )
解析：选C.因为|tan x|≥0，
所以当x∈时，cos x≥0，y≥0，
当x∈时，cos x≤0，y≤0.由图可知，故选C.
(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D.因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D.
已知函数f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为____________，周期T为____________，频率为________________________，初相φ为____________．
解析：振幅A＝2，T＝＝6，f＝，因为图象过点(0，1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝.
答案：2 6
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
解析：由题图可知，＝－＝，
即T＝，所以＝，故ω＝.
答案：
五点法作图及图象变换
[典例引领]
(2018·济南高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
【解】 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：
在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
②图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
③由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为而不是|φ|.
[提醒] y＝Asin(ωx＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T＝进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
解：根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的
解析式
[典例引领]
(2018·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)＝( )
A． B．
C．0 D．－
【解析】 由图知，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为在函数f(x)的图象上，所以sin＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为x1＋x2＝，所以f(x1)＋f(x2)＝sin＋sin＝sin＋sin＝sin＋sin＝0.
【答案】 C
本例的图象不变，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．
解析：由本例解析知f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.
答案：
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
[通关练习]
1．(2017·高考天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A.由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝＞2π，所以0＜ω＜1，ω＝，又|φ|＜π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
2．(2018·兰州市实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
答案：－
三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)
三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．高考对三角函数的图象与性质的综合应用问题的考查主要有以下五个命题角度：
(1)图象变换与函数性质；
(2)恒等变换与函数性质；
(3)三角函数图象与性质；
(4)三角函数性质与平面向量；
(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．
[典例引领]
角度一 图象变换与函数性质
(2018·陕西省高三教学质量检测(一))将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象左移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－，选A.
【答案】 A
角度二 恒等变换与函数性质
(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝4tan x·sincos －.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tan xcos xcos －
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
角度三 三角函数图象与性质
(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为2；③f＝1；④f为奇函数．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题图知，周期T＝2＝π，
则ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝.
由f(0)＝，得Asin＝，即A＝2.
所以f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos＝1，
f＝2sin＝2sin 2x为奇函数．
所以四个结论都正确．
【答案】 D
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
[通关练习]
1．(2018·云南省第一次统一检测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1＋4kπ，1＋4kπ)，k∈Z
B．(－3＋8kπ，1＋8kπ)，k∈Z
C．(－1＋4k，1＋4k)，k∈Z
D．(－3＋8k，1＋8k)，k∈Z
解析：选D.由题图，知T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1，1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(8k－3，8k＋1)(k∈Z)，故选D.
2．(2018·广西三市第一次联考)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin，所以g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.
3．(2018·东北四市高考模拟)若关于x的方程2sin＝m在上有两个不等实根，则m的取值范围是( )
A．(1，) B．[0，2]
C．[1，2) D．[1，]
解析：选C.2sin＝m在上有两个不等实根等价于函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝m有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象，由图可知m的取值范围是[1，2)．
三角函数模型的简单应用
[典例引领]
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解】 (1)因为f(t)＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t＜24，所以≤t＋＜，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin＞11，
即sin＜－.
又0≤t＜24，因此＜t＋＜，
即10＜t＜18.
故在10时至18时实验室需要降温．
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：连接MP(图略)．
依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3)．又P(8，0)，
所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.
五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线的凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．
由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
3．(2018·昆明市教学质量检测)函数y＝sin的图象可由函数y＝cosx的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到，则m＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：选A.因为y＝sin＝
cos＝cos，
所以只需将函数y＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数y＝sin的图象，故选A.
4．(2018·福建省普通高中质量检查)若将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos＝3cos的图象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A.
5．(2018·贵阳市检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f的值为( )
A．2 B.
C．－ D．－
解析：选D.依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4＝π，ω＝2，又Aω＝1，因此A＝.因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故选D.
6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________．
解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝.
答案：2
7．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，
所以ω＝，所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－，
所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案：y＝6－cosx
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝________．
解析：因为图象经过点A(0，1)，B，
A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得ω＝3.
又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
所以1＝2sin φ，即sin φ＝，
所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin
9．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，因为0<ω<1，
所以当k＝0时，可得：ω＝.
所以f(x)＝2sin，令2kπ－
列表如下：
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作图如图：
10．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．
(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，
所以ω＝，
所以y＝10sin＋b.①
ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.
当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，
所以解析式为y＝10sin＋20，t∈[6，14]．
(2)由题意得，
20－5≤10sin＋20≤20＋5，
即－≤sin≤，
所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.
即8k－8≤t≤8k－4，
因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，
所以最佳营业时间为12－8＝4小时．
1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[6k－1，6k＋2](k∈Z)
B．[6k－4，6k－1](k∈Z)
C．[3k－1，3k＋2](k∈Z)
D．[3k－4，3k－1](k∈Z)
解析：选B.|AB|＝5，|yA－yB|＝4，所以|xA－xB|＝3，即＝3，
所以T＝＝6，所以ω＝.
因为f(x)＝2sin的图象过点(2，－2)，
即2sin＝－2，
所以sin＝－1，
又因为0≤φ≤π，所以≤＋φ≤，所以＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得6k－4≤x≤6k－1(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[6k－4，6k－1](k∈Z)．故选B.
2．(2018·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0
解析：由题图可知，M，N(xN，－1)，
所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
答案：3
4．(2018·福建省毕业班质量检测)已知A是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<2π)图象上的一个最高点，B，C是f(x)图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M(M>0)，使得f(x＋M)＝Mf(－x)，则该函数的解析式是f(x)＝________．
解析：由题意得|BC|＝(ω>0)，所以S△ABC＝××1＝，解得ω＝π，所以f(x)＝sin(πx＋φ)，所以f(－x)＝sin(－πx＋φ)，f(x＋M)＝sin[π(x＋M)＋φ]．因为存在常数M(M>0)，使得f(x＋M)＝Mf(－x)，又－1≤f(x＋M)≤1，－M≤Mf(－x)≤M，所以M＝1，所以sin[π(x＋1)＋φ]＝sin(－πx＋φ)，即sin(πx＋φ)＝sin(πx－φ)，因为0<φ<2π，所以φ＝π，所以f(x)＝sin(πx＋π)，所以f(x)＝－sin πx为所求的函数的解析式．
答案：－sin πx
5．(2018·福建三明一中期中测试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由题意知，A＝2，T＝，故T＝π，
所以ω＝＝2，
因为图象上一个最低点为M，
所以2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－＝2(k－1)π＋(k∈Z)，
又0<φ<，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，2x＋∈，
此时－≤sin≤1，
则－1≤f(x)≤2，
即f(x)的值域为[－1，2]．
6．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－
＝sin 2ωx＋－
＝sin，
又f(x)的最小正周期T＝，
所以T＝＝＝，
所以ω＝2，所以f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin，
当0≤x≤时，－≤2x－≤，
易知当－≤2x－≤，即0≤x≤π时，g(x)单调递增，且g(x)∈，当<2x－≤，即π
解得－
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