2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第6讲　第2课时　正、余弦定理的综合问题

第2课时　正、余弦定理的综合问题

　　　　　　与三角形面积有关的问题(多维探究)

角度一　计算三角形的面积

(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为        ．

(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为        ．

【解析】　(1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.

(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin＝.

【答案】　(1)6　(2)

求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；

(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

角度二　已知三角形的面积解三角形

(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝        ，a＋b＝        ．

【解析】　因为(3b－a)cos C＝ccos A，所以利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin              B．又因为sin B≠0，所以cos C＝，则C为锐角，所以sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以(a＋b)2＝ab＝33，所以a＋b＝.

【答案】　9　

已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

[注意]　正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．

1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．5

C．10  D．

解析：选A.由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.选A.

2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.

解：(1)由题设得asin C＝ccos，

由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，

所以sin A＝cos ，

所以2sincos＝cos，所以sin＝，

所以A＝60°.

(2)由题设得bcsin A＝，从而bc＝4.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12.

又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.

　　　　　三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

【解】　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

由(1)知A＋C＝120°，

所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.

求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题

在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．

　(一题多解)(2020·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.

(1)求△ABC外接圆的直径；

(2)求a＋c的取值范围．

解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，

又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.

根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.

(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.

由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，

＝＝＝1，

所以a＋c＝sin A＋sin C

＝sin A＋sin

＝

＝sin.

因为0＜A＜，所以＜A＋＜.

所以＜sin≤1，

从而＜sin≤，

所以a＋c的取值范围是.

法二：由(1)知，B＝，

b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac

≥(a＋c)2－3＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤，

又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤，

所以a＋c的取值范围是.

　　　　解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)

(2020·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.

(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．

【解】　(1)由题意知，f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1.

令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)因为f(A)＝sin＋1＝2，

所以sin＝1.

因为0＜A＜π，所以＜2A＋＜，所以2A＋＝，即A＝.

由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2，

又b＋c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，

解得a＝－1.

标注条件，合理建模

解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．

　△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccos B.

(1)求角C的大小；

(2)求cos A＋sin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．

解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理可知sin B＝2sin A－2sin Ccos B，

又A＋B＋C＝π，

则sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)，于是有sin B＝2sin(B＋C)－2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－2sin Ccos B，

整理得sin B＝2sin Bcos C，又sin B≠0，

则cos C＝，

因为0<C<π，则C＝.

法二：由题可得b＝2a－2c·，

整理得a2＋b2－c2＝ab，

即cos C＝，

因为0<C<π，则C＝.

(2)由(1)知C＝，则B＋＝π－A，

于是cos A＋sin＝cos A＋sin(π－A)＝cos A＋sin A＝2sin，

因为A＝－B，所以0<A<，

所以<A＋<π，

故当A＝时，2sin的最大值为2，此时B＝.

[基础题组练]

1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B.

C．9  D．

解析：选B.因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B.

2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)

A．2   B.

C．2  D．2

解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.

3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　)

A．3＋3  B．2

C．3＋2  D．3＋

解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a，

由余弦定理得cos C＝＝＝，

又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.

4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝(　　)

A．1   B.

C.  D．

解析：选A.因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A.

所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cos A＝.

所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.

5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)

A．10  B．12

C．8＋  D．8＋2

解析：选B.因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.

6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为        ．

解析：因为b2sin C＝4sin B，

所以b2c＝4b，所以bc＝4，

S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.

答案：2

7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝        ，△ABC的面积等于        ．

解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2，

所以S△ABC＝×2×2＝2.

答案：　2

8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为        ．

解析：由＝⇒＝⇒a＝c，①

由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②

联立①，②得a＝5，且c＝2.

由sin B＝且B为锐角知cos B＝，

由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.

答案：

9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，

解得b＝8或b＝－5(舍)．

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.

10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，

从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，

即sin B＝2sin Bcos A.

又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，

又A为三角形的内角，所以A＝.

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，

所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.

[综合题组练]

1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(　　)

A.   B.

C.  D．2

解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为        ．

解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.

答案：3

3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C.

(1)求角B的大小；

(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．

解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，

所以tan B＝.

又0＜B＜π，所以B＝.

(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.

由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.

所以cos A＝＝＝－.

因为D是AC的中点，所以AD＝.

所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.

所以BD＝.

4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15.

(1)求sin C；

(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求·的最大值．

解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

(2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时·取得最大值，

设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，

故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25，

解得mn≤，

故·＝mn≤×＝50，

当且仅当m＝n＝时，等号成立，

故·的最大值为50.