2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质（二）

第2课时　三角函数的图象与性质(二)

　　　　　三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)

(1)函数f(x)＝2cos2－1是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)

A．ω＝2，θ＝　　　　　 B．ω＝，θ＝

C．ω＝，θ＝  D．ω＝2，θ＝

【解析】　(1)因为f(x)＝2cos2－1

＝cos＝cos＝sin 2x.

所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．

故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．

(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.

由＝π得ω＝2.

因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.

又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.

【答案】　(1)A　(2)A

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．

1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)

A．y＝sin　　　 B．y＝cos

C．y＝sin 2x＋cos 2x  D．y＝sin x＋cos x

解析：选B.y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．

2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin

的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)

A．f(x)在上单调递增

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)在上单调递减

D．f(x)在上单调递增

解析：选A.f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.

　　　　　　三角函数的对称性(师生共研)

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A.   B.

C.  D．

【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2，

可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，

再由函数图象关于直线x＝对称，

故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－.

故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，

可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.

所以函数f(x)图象的一个对称中心是.

【答案】　B

三角函数图象的对称轴和

对称中心的求解思路和方法

(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．

(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2   B.

C．1  D．

解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.

2．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)的周期为

C．(π，0)是f(x)的一个对称中心

D．f(x)在区间上单调递减

解析：选A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f＝|sin π|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin 2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x∈，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确．

　　　　三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)

已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.

(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．

【解】　(1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π；

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，

故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，

由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.

故f(x)的最小值为0，最大值为.

解决三角函数图象与性质综合问题的方法

先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

　已知函数f(x)＝2sin.

(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；

(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．

解：(1)当sin＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，

即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2；

故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.

(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，

得x＝＋kπ，k∈Z.

即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.

由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，

即对称中心为，k∈Z.

[基础题组练]

1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．π  D．2π

解析：选C.因为y＝2＝

2sin，所以T＝＝π.

2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　)

A．0  B．3

C．－1  D．－2

解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，

即tan b＋sin b＝1.

所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1

＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.

3．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，

由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.

4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间(0，)上单调递减

C．(，0)为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于(，0)中心对称，故选C.

5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称  B．关于点对称

C．关于直线x＝对称  D．关于直线x＝对称

解析：选B.函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.

6．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为        ．

解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.

答案：2

7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为        ．

解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.

答案：①③

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为        ．

解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.

答案：

9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．

解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin

＝cos＋1＋2sinsin

＝cos＋2sincos＋1

＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1

＝sin 2x－cos 2x＋1

＝sin＋1，

所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.

10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．

解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．

所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，

展开整理得sin 2xcos φ＝0，

已知上式对∀x∈R都成立，

所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.

(2)因为f＝，所以sin＝，

即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又因为0<φ<，所以φ＝，

即f(x)＝sin，

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

[综合题组练]

1．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，则正数ω的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选D.函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.

由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，

所以函数f(x)的最小正周期T＝，

所以ω＝＝4.

2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在上是减函数

B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0

C．f(x)≥1的解集是，k∈Z

D．f(x)图象的一个对称中心是

解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.

3．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.

4．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，

所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.