2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第十一章第1节交变电流的产生及描述

第十一章  交变电流　传感器

[全国卷5年考情分析]

第1节　交变电流的产生及描述

一、交变电流、交变电流的图像

1．交变电流

大小和方向都随时间做周期性变化的电流。

2．正弦式交变电流的产生和图像

(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。[注1]

[注2]

 (2)图像：线圈从中性面位置开始计时，如图甲、乙、丙所示。

二、正弦式交变电流的函数表达式、峰值和有效值

1．周期和频率

(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝。

(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数。单位是赫兹(Hz)。

(3)周期和频率的关系：T＝。

2．交变电流的瞬时值、峰值和有效值

(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数。如e＝Emsin ωt。

(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值。

(3)有效值：让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在一个周期内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。E＝，U＝，I＝。[注3]

【注解释疑】

[注1] 只有转轴和磁场垂直时，才产生正弦交流电。

[注2] 在磁场中与B垂直的位置为中性面，Φ最大，I感＝0，线圈转一周两次经过中性面，电流方向改变两次。

[注3] 只有正(余)弦交流电的有效值和峰值之间是E＝的关系，其他交流电不是。

[深化理解]

(1)正弦交流电的产生：中性面垂直于磁场方向，线圈平面平行于磁场方向时电动势最大：Em＝nBSω。

①线圈从中性面开始转动：e＝Emsin ωt。

②线圈从平行于磁场方向开始转动：e＝Emcos ωt。

(2)正弦交变电流的有效值与最大值的关系，对整个波形、半个波形、甚至个波形都成立。

(3)非正弦交流电的有效值利用等效法求解，即：I2Rt等于一个周期内产生的总热量。

[基础自测]

一、判断题

(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。(×)

(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。(×)

(3)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。(√)

(4)交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。(√)

(5)交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。(×)

二、选择题

1.如图所示，KLMN是一个竖直的矩形导线框，全部处于磁感应强度为B的水平方向的匀强磁场中，线框面积为S，MN边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动。在MN边与磁场方向的夹角达到30°的时刻(图示位置)，导线框中产生的瞬时电动势e的大小和线框此时电流的方向分别为(已知线框按俯视的逆时针方向转动)(　　)

A.BSω，电流方向为KNMLK B.BSω，电流方向为KNMLK

C.BSω，电流方向为KLMNK D.BSω，电流方向为KLMNK

解析：选B　MN边与磁场方向成30°时，感应电动势为e＝Emcos ωt＝BSωcos 30°＝BSω。由右手定则可知电流方向为KNMLK。

2．[人教版选修3－2 P34 T3改编]如图所示，单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，设磁感应强度为0.01 T，线圈边长AB为20 cm，宽AD为10 cm，转速n为50 r/s，则线圈转动时感应电动势的最大值为(　　)

A．1×10－2 V　　　　　　 B．3.14×10－2 V

C．2×10－2 V D．6.28×10－2 V

解析：选D　感应电动势最大值Em＝BSω＝BS·2πn＝6.28×10－2 V。

3．[沪科版选修3－2 P59 T4改编]如图为某正弦式交变电流的图像，则该电流的瞬时值表达式为(　　)

A．i＝10sin(100πt)A   B．i＝10sin(10πt)A

C．i＝20sin(50πt)A D．i＝20sin(100πt)A

解析：选D　由题图可知T＝0.02 s，则ω＝＝100π rad/s。当t＝0.002 5 s时，i＝14.14 A，代入i＝Imsin ωt得Im＝20 A。所以电流的瞬时值表达式为i＝20sin(100πt)A。

4．[鲁科版选修3－2 P61T1]两只相同的电阻，分别通以正弦波形的交流电和方波形的交流电，两种交流电的最大值相等，且周期相等(如图甲、乙所示)。在正弦波形交流电的一个周期内，正弦波形的交流电在电阻上产生的焦耳热为Q1，其与方波形交流电在电阻上产生的焦耳热Q2之比Q1∶Q2等于(　　)

A．1∶1   B．2∶1

C．1∶2 D．4∶3

解析：选C　设两种交变电流的最大值为Im。对于正弦波形电流，其有效值I1＝，对于方波形电流，其有效值I2＝Im。根据焦耳定律Q＝I2RT，得Q1∶Q2＝I12∶I22＝1∶2。

高考对本节内容的考查，主要集中在交变电流的产生和描述、有效值的理解与计算、交变电流“四值”的理解和应用，对这些考点的考查，主要以选择题的形式呈现，难度一般。

考点一　交变电流的产生和描述[基础自修类]

[题点全练]

1．[交变电流的函数表达式]

一个矩形线圈在匀强磁场中转动产生的电动势e＝200·sin 100πt(V)，下列说法正确的是(　　)

A．该交变电流的频率是100 Hz

B．当t＝0时，线圈平面恰好与中性面垂直

C．当t＝ s时，e达到峰值

D．该交变电流的电动势的有效值为200 V

解析：选C　由交变电流的电动势瞬时值表达式e＝nBSω·sin ωt可知，交变电流的频率f＝＝ Hz＝50 Hz，选项A错误。在t＝0时，电动势瞬时值为0，线圈平面恰好在中性面处，选项B错误。当t＝ s时，e达到峰值Em＝200 V，选项C正确。该交变电流的电动势的有效值E＝＝200 V，选项D错误。

2．[交变电流的图像表达]

 (多选)如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦交流电的图像，当调整线圈转速后，所产生的正弦交流电的图像如图线b所示。以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是(　　)

A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零

B．线圈先后两次转速之比为3∶2

C．交流电a的瞬时值表达式为u＝10sin(5πt)V

D．交流电b的最大值为 V

解析：选BCD　在题图中t＝0时刻，感应电动势为零，穿过线圈的磁通量最大，A错误；a的周期为0.4 s，b的周期为0.6 s，转速与周期成反比，所以转速之比为3∶2，B正确；交流电的瞬时值表达式为u＝Umsin ωt，所以a的瞬时值表达式为u＝10sinV＝10sin(5πt)V，C正确；由Um＝NBSω，可知角速度变为原来的，则最大值变为原来的，交流电b的最大值为 V，D正确。

3．[交流电的产生]

(多选)1831年，法拉第在一次会议上展示了他发明的圆盘发电机(图甲)，它是利用电磁感应的原理制成的，是人类历史上第一台发电机。图乙是这个圆盘发电机的结构示意图：铜盘安装在水平的铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘良好接触，使铜盘转动，电阻R中就有电流通过。若所加磁场为匀强磁场，回路的总电阻恒定，从左往右看，铜盘沿顺时针方向匀速转动，下列说法正确的是(　　)

A．铜片D的电势高于铜片C的电势

B．电阻R中有正弦式交变电流流过

C．铜盘转动的角速度增大1倍，流过电阻R的电流也随之增大1倍

D．保持铜盘不动，磁场变为方向垂直于铜盘的交变磁场，则铜盘中有电流产生

解析：选ACD　根据右手定则可知，铜片D的电势比C的高，A正确；若所加的磁场为匀强磁场，铜盘匀速转动，则产生的感应电动势E＝BL＝BL·＝BωL2，不随时间变化，则电阻R中流过的是恒定电流，B错误；由上式可知，若铜盘转动的角速度增大1倍，感应电动势增大1倍，流过电阻R的电流也随着增大1倍，C正确；保持铜盘不动，磁场变为垂直于铜盘的交变磁场，则通过铜盘的磁通量发生变化，铜盘中会产生感应电动势，铜盘中有电流产生，D正确。

 [名师微点]

正弦式交变电流的产生及特点

(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。

(2)两个特殊位置的特点：

①线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变。

②线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变。

(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次。

(4)交变电动势的最大值Em＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关。

考点二　有效值的理解与计算[师生共研类]

有效值的求解

1计算有效值的根据是电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。

2利用公式Q＝I2Rt和Q＝\f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值。

 [典例]　 电阻R1、R2与交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω。合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示。则(　　)

A．通过R1的电流有效值是1.2 A

B．R1两端的电压有效值是6 V

C．通过R2的电流有效值是1.2 A

D．R2两端的电压最大值是6 V

[解析]　首先从交流电图像中找出交变电流的最大值即通过R2的电流最大值为0.6 A，由正弦式交变电流最大值与有效值的关系Im＝I可知其有效值为0.6 A，由于R1与R2串联，所以通过R1的电流有效值也是0.6 A，选项A、C错误；R1两端电压有效值为U1＝IR1＝6 V，选项B正确；R2两端电压最大值为U2m＝ImR2＝0.6×20 V＝12 V，选项D错误。

[答案]　B

[延伸思考]

[变式1]　把图像下半部分翻到t轴的上面

正弦交流电是由闭合线圈在匀强磁场中匀速转动产生的。线圈中感应电动势随时间变化的规律如图所示，则此感应电动势的有效值为________ V。

解析：由有效值的定义式得：××2＝ T，解得：U＝220 V。

答案：220

[变式2]　仅余周期的波形

家用电子调光灯的调光功能是用电子线路将输入的正弦交流电压的波形截去一部分来实现的，由截去部分的多少来调节电压，从而实现灯光的可调，比过去用变压器调压方便且体积小。某电子调光灯经调整后电压波形如图所示，求灯泡两端电压的有效值。

解析：从u­t图像看出，每个周期的前半周期是正弦图形，其有效值为U1＝；后半周期电压为零。根据有效值的定义，T＝·＋0，解得U＝。

答案：

[变式3]　仅余周期的波形

如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去。现在电灯上电压的有效值为(　　)

A．Um　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　从u­t图像上看，每个周期正弦波形的有效值U1＝，根据有效值的定义：T＝××2＋0，解得：U＝，D正确。

[变式4]　把正、余弦波形变成矩形波形

如图所示，表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电的有效值是(　　)

A．5 A   B．3.5 A

C．3.5 A D．5 A

解析：选D　交流电的有效值是根据其热效应定义的，它是从电流产生焦耳热相等的角度出发，使交流电与恒定电流等效。设交流电的有效值为I，令该交变电流通过一阻值为R的纯电阻，在一个周期内有：I2RT＝I12R＋I22R。所以该交流电的有效值为I＝ ＝5 A。D项正确。

[变式5]　上下波形的最大值不一致

电压u随时间t的变化情况如图所示，求电压的有效值。

解析：由有效值的定义式得：×＋×＝T，解得：U＝174 V。

答案：174 V

[变式6]　交流电与二极管相连

如图所示，在电阻两端并联二极管的电路中，电阻R1与电阻R2阻值相同，都为R，和R1并联的D为理想二极管(正向电阻可看作零，反向电阻可看作无穷大)，在A、B间加一正弦交流电u＝20sin(100πt) V，则加在R2上的电压有效值为(　　)

A．10 V  B．20 V

C．15 V D．5 V

解析：选D　电压值取正值时，即在前半个周期内，二极管电阻为零，R2上的电压等于输入电压值，电压值取负值时，即在后半个周期内，二极管电阻无穷大可看作断路，R2上的电压等于输入电压值的一半，据此可设加在R2的电压有效值为U，根据电流的热效应，在一个周期内满足T＝·＋·，可求出U＝5 V。故选项D正确。

[解题方略]　几种典型交变电流的有效值

考点三　交变电流“四值”的理解和应用

[基础自修类]

[题点全练]

1．[交变电流峰值的应用]

(多选)如图甲所示，标有“220 V　40 W”的电灯和标有“20 μF　300 V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表。交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关S，下列判断正确的是(　　)

A．t＝时刻，V的示数为零

B．电灯恰正常发光

C．电容器有可能被击穿

D．交流电压表V的示数保持110 V不变

解析：选BC　交流电压表V的示数应是电压的有效值220 V，故A、D错误；电压的有效值恰等于电灯的额定电压，电灯正常发光，B正确；电压的峰值220  V≈311 V，大于电容器的耐压值，故电容器有可能被击穿，C正确。

2.[四值的计算]

(多选)如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R。下列判断正确的是(　　)

A．电压表的读数为

B．当线圈由图示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为

C．在线圈转过一周的过程中，电阻R上产生的焦耳热为

D．当线圈由图示位置转过30°时，通过电阻R的电流为

解析：选AD　电动势的最大值Em＝NBSω，有效值E＝＝，电压表的示数为路端电压的有效值，解得U＝E＝，A正确；线圈由题图所示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量q＝＝＝，B错误；在线圈转过一周的时间内电阻R上产生的热量Q＝·＝，C错误；电流的最大值为Im＝＝，电流的瞬时值表达式为i＝Imsin ωt，从题图所示位置转过30°时，ωt＝，此时的电流为i＝＝，D正确。

3．[四值的应用]

如图所示，N＝50匝的矩形线圈abcd，ab边长l1＝20 cm，ad边长l2＝25 cm，放在磁感应强度B＝0.4 T的匀强磁场中，外力使线圈绕垂直于磁感线且通过线圈中线的OO′轴以n＝3 000 r/min的转速匀速转动，线圈电阻r＝1 Ω，外电路电阻R＝9 Ω。t＝0时线圈平面与磁感线平行，ab边正转出纸外、cd边转入纸里。求：

(1)t＝0时感应电流的方向；

(2)感应电动势的瞬时值表达式；

(3)线圈转一圈外力做的功；

(4)从图示位置转过90°的过程中流过电阻R的电荷量。

解析：(1)根据右手定则，线圈感应电流方向为adcba。

(2)线圈的角速度ω＝2πn＝100π rad/s

题图所示位置的感应电动势最大，其大小为Em＝NBl1l2ω

代入数据得Em＝314 V

感应电动势的瞬时值表达式

e＝Emcos ωt＝314cos(100πt)V。

(3)电动势的有效值E＝

线圈匀速转动的周期T＝＝0.02 s

线圈匀速转动一圈，外力做功大小等于电功的大小，

即W＝I2(R＋r)T＝·T

代入数据得W≈98.6 J。

(4)从t＝0起线圈转过90°的过程中，Δt内流过R的电荷量：q＝Δt＝＝

代入数据得q＝0.1 C。

答案：(1)感应电流方向沿adcba　(2)e＝314cos(100πt)V

(3)98.6 J　(4)0.1 C

[名师微点]

对交变电流“四值”的比较和理解

“融会贯通”归纳好——产生正弦交流电的5种方式

1．线圈在匀强磁场中匀速转动。

2．线圈不动，匀强磁场匀速转动。

3．导体棒在匀强磁场中做简谐运动。

4．线圈不动，磁场按正弦规律变化。

5．在匀强磁场中导体棒的长度与时间成正弦规律变化。

第一种方式是课本上介绍的，第二种原理与第一种一样，实际生活中大型发电厂都采用这种方式。下面举例说明后面三种方式。

(一)导体棒在匀强磁场中做正弦式运动

1.如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻。一电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻。求：

(1)从t＝0到t＝时间内电阻R产生的热量；

(2)从t＝0到t＝时间内外力F所做的功。

解析：由导体棒切割磁感线产生的电动势E＝BLv得

e＝BLvmsin ωt

回路中产生正弦交流电，其有效值为E＝

在0～时间内产生的热量

Q＝2R·＝2

由功能关系得：外力F所做的功

W＝Q＝2。

答案：(1)2　(2)2

(二)线圈不动，磁场按正弦规律变化

2．如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n＝100匝，电阻r＝1.0 Ω，所围成的矩形的面积S＝0.040 m2，小灯泡的电阻R＝9.0 Ω，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e＝nBmScos t，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求：

(1)线圈中产生感应电动势的最大值；

(2)小灯泡消耗的电功率；

(3)在磁感应强度变化的0～时间内，通过小灯泡的电荷量。

解析：(1)由瞬时值表达式可知线圈中感应电动势的最大值Em＝nBmS＝8 V。

(2)产生的交流电的电流有效值I＝

小灯泡消耗的电功率P＝I2R＝2.88 W。

(3)0～时间内电流的平均值＝＝

通过小灯泡的电荷量q＝Δt＝n＝0.004 C。

答案：(1)8 V　(2)2.88 W　(3)0.004 C

(三)在匀强磁场中导体棒的长度与时间成正弦规律变化

3.如图所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示)，R1＝4 Ω、R2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)，导轨OAC的形状满足方程y＝2sin(单位：m)。磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面，一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速度v＝5.0 m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，金属棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计金属棒的电阻，求：

(1)外力F的最大值；

(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；

(3)在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。

解析：(1)当金属棒滑至A位置时，有效切割长度最大，为2 m，产生的最大感应电动势

Em＝BLmv＝0.2×2×5 V＝2 V

电路的总电阻

R总＝＝ Ω，

最大感应电流Im＝＝ A＝0.75 A。

最大安培力F安＝BImLm＝0.2×0.75×2 N＝0.3 N，

由平衡条件可知，外力F的最大值Fm＝F安＝0.3 N。

(2)感应电动势最大时，电阻丝R1上消耗的功率最大，其最大功率P1＝＝ W＝1 W。

(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化

L＝2sin x，x＝vt，E＝BLv

I＝＝·2sin＝sinA。

答案：(1)0.3 N　(2)1 W　(3)I＝sinA

正弦交流电的产生归根结底还是发生了“正弦式”的电磁感应，产生了正弦式感应电动势，根据E＝BLv，可以分别在B、L、v这三个物理量上做文章。感兴趣的考生可以再重温一下e＝Emsin ωt和Em＝nBSω的推导过程。