2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第十章第2节法拉第电磁感应定律自感涡流

第2节　法拉第电磁感应定律　自感　涡流

一、法拉第电磁感应定律

1．感应电动势

(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势。

(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。

(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断。[注1]

2．法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。[注2]

(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数。[注3]

3．导体切割磁感线的情形

(1)垂直切割：E＝Blv。

(2)倾斜切割：E＝Blvsin_θ，其中θ为v与B的夹角。

 (3)旋转切割(以一端为轴)：E＝Bl2ω。

二、自感和涡流

1．自感现象

由于通过导体自身的电流发生变化而产生的电磁感应现象。

2．自感电动势

(1)定义：在自感现象中产生的感应电动势。

(2)表达式：E＝L。

(3)自感系数L：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关，单位为亨利(H)。

3．涡流

当线圈中的电流发生变化时，在它附近的导体中产生的像水中的旋涡一样的感应电流。

【注解释疑】

[注1] 感应电动势的方向与电池电动势的方向一样，都规定为在电源内部由负极指向正极。

[注2] 正确区分磁通量、磁通量的变化和磁通量的变化率。

[注3] 穿过线圈的磁通量与匝数无关，感应电动势与匝数有关，n匝线圈相当于n个相同的电源串联。

[深化理解]

(1)计算通过导体截面的电荷量的两个途径：

q＝t

(2)安培力做功时的能量转化：电能机械能。

(3)平动直杆所受的安培力：FA＝；热功率：P热＝。

[基础自测]

一、判断题

(1)线圈中磁通量越大，产生的感应电动势越大。(×)

(2)线圈中磁通量变化越大，产生的感应电动势越大。(×)

(3)线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势越大。(√)

(4)感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同。(×)

(5)线圈中的电流越大，自感系数也越大。(×)

(6)对于同一线圈，当电流变化越快时，线圈中的自感电动势越大。(√)

二、选择题

1.[粤教版选修3－2 P18T3改编]如图所示，半径为r的n匝线圈放在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场充满正方形区域并垂直穿过该区域，当磁场以的变化率变化时，线圈产生的感应电动势大小为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．n·L2

C．n·πr2  D．n·r2

解析：选B　由法拉第电磁感应定律可知线圈产生的自感电动势E＝n·L2，故B正确。

2.[鲁科版选修3－2 P33T1]在如图所示的电路中，LA为灯泡，S为开关，L为有铁芯的线圈。对于这样的电路，下列说法正确的是(　　)

A．因为线圈L通电后会产生自感现象，所以S闭合后，灯泡LA中无电流通过

B．在S打开或闭合的瞬间，电路中都不会产生自感现象

C．当S闭合时，电路中会产生自感现象

D．在S闭合后再断开的瞬间，灯泡LA可能不立即熄灭

解析：选C　S闭合瞬间，由于线圈产生自感电动势而阻碍通过灯泡LA的电流的增加，但阻碍不是阻止，S闭合后有电流通过LA；S断开瞬间，线圈产生自感电动势，因电路断开，电流立即消失，灯泡LA立即熄灭，故C正确，A、B、D错误。

3．[沪科版选修3－2 P37T1改编](多选)变压器的铁芯是利用薄硅钢片叠压而成的，而不是采用一整块硅钢，这是因为(　　)

A．增大涡流，提高变压器的效率

B．减小涡流，提高变压器的效率

C．增大铁芯中的电阻，以产生更多的热量

D．增大铁芯中的电阻，以减小发热量

解析：选BD　不使用整块硅钢而采用很薄的硅钢片，这样做的目的是增大铁芯中的电阻，阻断涡流回路，来减少电能转化成铁芯的内能，提高效率，故B、D正确，A、C错误。

高考对本节内容的考查，主要集中在法拉第电磁感应定律的应用、导体棒切割磁感线产生感应电动势，通常还会结合电路或力学知识进行考查，难度较大。而对自感、涡流考查时，一般以选择题的形式呈现，难度中等。

考点一　法拉第电磁感应定律的应用[师生共研类]

1．对法拉第电磁感应定律的理解

(1)公式E＝n求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，在磁通量均匀变化时，瞬时值才等于平均值。

(2)感应电动势的大小由线圈的匝数和穿过线圈的磁通量的变化率共同决定，而与磁通量Φ的大小、变化量ΔΦ的大小没有必然联系。

(3)磁通量的变化率对应Φ­t图线上某点切线的斜率。

(4)通过回路截面的电荷量q＝，仅与n、ΔΦ和回路电阻R有关，与时间长短无关。

2．磁通量发生变化的三种情况

(1)磁通量的变化是由面积变化引起时，ΔΦ＝BΔS，则E＝n。

(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔBS，则E＝n，注意S为线圈在磁场中的有效面积。

(3)磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝|Φ末－Φ初|，E＝n≠n。

[典例]　轻质细线吊着一质量为m＝0.42 kg、边长为L＝1 m、匝数n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10 m/s2)

(1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针；

(2)求线圈的电功率；

(3)求在t＝4 s时轻质细线的拉力大小。

[解析]　(1)由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向。

(2)由法拉第电磁感应定律得

E＝n＝n·L2＝0.5 V

则P＝＝0.25 W。

(3)通过线圈的电流I＝＝0.5 A，由题图乙可知当t＝4 s时，B＝0.6 T，线圈受到的安培力F安＝nBIL

由平衡条件得F安＋F线＝mg

联立解得F线＝1.2 N。

[答案]　(1)逆时针　(2)0.25 W　(3)1.2 N

[题点全练]

1．[法拉第电磁感应定律、楞次定律的综合]

(多选)(2018·全国卷Ⅲ)如图(a)，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电i，i的变化如图(b)所示，规定从Q到P为电流正方向。导线框R中的感应电动势(　　)

A．在t＝时为零

B．在t＝时改变方向

C．在t＝时最大，且沿顺时针方向

D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向

解析：选AC　在t＝时，交流电图线斜率为0，即磁场变化率为0，由E＝＝S知，E＝0，故A正确。在t＝和t＝T时，图线斜率最大，在t＝和t＝T时感应电动势最大。在到之间，电流由Q向P减弱，导线在R处产生垂直纸面向里的磁场，且磁场减弱，由楞次定律知，R产生的感应电流的磁场方向也垂直纸面向里，则R中感应电动势沿顺时针方向，同理可判断在到T时，R中电动势也为顺时针方向，在T到T时，R中电动势为逆时针方向，C正确，B、D错误。

2．[感应电荷量的计算]

(多选)如图甲所示，abcd是匝数为100匝、边长为10 cm、总电阻为0.1 Ω的正方形闭合导线圈，放在与线圈平面垂直的图示匀强磁场中。磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。则以下说法正确的是(　　)

A．导线圈中产生的是交变电流

B．在t＝2.5 s时导线圈产生的感应电动势为1 V

C．在0～2 s内通过导线横截面的电荷量为20 C

D．在t＝1 s时，导线圈内电流的瞬时功率为10 W

解析：选ACD　在0～2 s内，磁感应强度变化率为＝1 T/s，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势为E1＝nS＝100×0.12×1 V＝1 V；在2～3 s内，磁感应强度变化率为＝2 T/s，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势为E2＝nS＝100×0.12×2 V＝2 V。导线圈中产生的感应电流为方波交变电流，选项A正确。在t＝2.5 s时，产生的感应电动势为E2＝2 V，选项B错误。在0～2 s内，感应电流I＝＝10 A，通过导体横截面的电荷量为q＝IΔt1＝20 C，选项C正确。在t＝1 s时，导线圈内感应电流的瞬时功率P＝UI＝I2R＝102×0.1 W＝10 W，选项D正确。

考点二　导体棒切割磁感线产生感应电动势[多维探究类]

1．E＝Blv的三个特性

2．导体棒转动切割磁感线

当导体棒在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bl＝Bl2ω，如图所示。

考法(一)　转动切割产生感应电动势

[例1]　(2018·全国卷Ⅰ)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．2

[解析]　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有

E1＝＝

根据闭合电路欧姆定律，有

I1＝

且q1＝I1Δt1

在过程Ⅱ中，有

E2＝＝

I2＝

q2＝I2Δt2

又q1＝q2，即＝

所以＝。

[答案]　B

考法(二)　平动切割产生感应电动势

[例2]　如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)

A．Q1>Q2，q1＝q2  B．Q1>Q2，q1>q2

C．Q1＝Q2，q1＝q2  D．Q1＝Q2，q1>q2

[解析]　由Q＝I2Rt得，Q1＝2Rt＝×＝，同理，Q2＝，又因为Lab>Lbc，故Q1>Q2。由电荷量q＝Δt＝n＝，故q1＝q2。所以选项A正确。

[答案]　A

[共性归纳]

应用法拉第电磁感应定律的四种情况

[题点全练]

1．[转动切割产生感应电动势]

(多选)(2016·全国卷Ⅱ)法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是(　　)

A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定

B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动

C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化

D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍

解析：选AB　由右手定则知，圆盘按如题图所示的方向转动时，感应电流沿a到b的方向流动，选项B正确；由感应电动势E＝Bl2ω知，角速度恒定，则感应电动势恒定，电流大小恒定，选项A正确；角速度大小变化，感应电动势大小变化，但感应电流方向不变，选项C错误；若ω变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，电流变为原来的2倍，由P＝I2R知，电流在R上的热功率变为原来的4倍，选项D错误。

2．[线框在磁场中平动切割产生感应电动势]

(多选)如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时线框的速度大小为v，方向与磁场边界所成夹角为45°。若线框的总电阻为R，则(　　)

A．线框穿进磁场过程中，框中电流的方向为D→C→B→A→D

B．AC刚进入磁场时线框中感应电流为

C．AC刚进入磁场时线框所受安培力大小为

D．此时CD两端电压为Bav

解析：选CD　线框进入磁场的过程中穿过线框的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流产生的磁场方向垂直纸面向外，则感应电流的方向为A→B→C→D→A，A错误；AC刚进入磁场时CD边切割磁感线，AD边不切割磁感线，所以产生的感应电动势为E＝Bav，则线框中感应电流为I＝＝，故CD两端的电压为U＝I×R＝Bav，B错误，D正确；AC刚进入磁场时线框的CD边受到的安培力的方向与v的方向相反，AD边受到的安培力的方向垂直于AD边向下，它们的大小都是F＝BIa，由几何关系可以看出，AD边与CD边受到的安培力的方向相互垂直，所以AC刚进入磁场时线框所受安培力为AD边与CD边受到的安培力的矢量和，即F合＝F＝，C正确。

3．[不同线框切割磁感线产生感应电流的比较]

一个匀强磁场的边界是MN，MN左侧无磁场，右侧是范围足够大的匀强磁场区域，如图甲所示。现有一个金属线框沿ab方向以恒定速度从MN左侧垂直进入匀强磁场区域。线框中的电流随时间变化的I­t图像如图乙所示。则可能的线框是下列选项中的哪一个(　　)

解析：选D　线框切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，设线框总电阻是R，则感应电流I＝，由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后均匀变小，且电流大小与时间成正比，由于B、v、R是定值，故切割磁感线的有效长度L应先均匀变长，后均匀变短，且L随时间均匀变化，即L与时间t成正比。圆形线框匀速进入磁场时，有效长度L先变大，后变小，但L随时间不是均匀变化，不符合题意，故A错误；正方形线框进入磁场时，有效长度L不变，感应电流不变，不符合题意，故B错误；梯形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增加，后不变，最后均匀减小，不符合题意，故C错误；三角形线框匀速进入磁场时，有效长度L先增加，后减小，且随时间均匀变化，符合题意，故D正确。

考点三　自感和涡流[基础自修类]

[题点全练]

1．[通、断电自感现象的分析]

(多选)如图所示，A、B是相同的白炽灯，L是自感系数很大、电阻可忽略的自感线圈。下面说法正确的是(　　)

A．闭合开关S时，A、B灯同时亮，且达到正常

B．闭合开关S时，B灯比A灯先亮，最后一样亮

C．闭合开关S时，A灯比B灯先亮，最后一样亮

D．断开开关S时，A灯与B灯同时慢慢熄灭

解析：选BD　由于自感的作用，闭合开关S时，B灯比A灯先亮，最后一样亮，选项A、C错误，B正确；断开开关S时，L中产生自感电动势，A灯与B灯同时慢慢熄灭，选项D正确。

2．[自感现象、电路分析]

(2017·北京高考)图1和图2是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是(　　)

A．图1中，A1与L1的电阻值相同

B．图1中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流

C．图2中，变阻器R与L2的电阻值相同

D．图2中，闭合S2瞬间，L2中电流与变阻器R中电流相等

解析：选C　题图1中，稳定时通过A1的电流记为I1，通过L1的电流记为IL。S1断开瞬间，A1突然变亮，可知IL>I1，因此A1和L1电阻不相等，所以A、B错误；题图2中，闭合S2时，由于自感作用，通过L2与A2的电流I2会逐渐增大，而通过R与A3的电流I3立即变大，因此电流不相等，所以D错误；由于最终A2与A3亮度相同，所以两支路电流I相同，根据部分电路欧姆定律，两支路电压U与电流I均相同，所以两支路电阻相同，由于A2、A3完全相同，故变阻器R与L2的电阻值相同，所以C正确。

3．[对涡流的理解]

(多选)如图所示，条形磁铁位于固定的半圆光滑轨道的圆心位置。一半径为R、质量为m的金属球从半圆轨道的一端沿半圆轨道由静止下滑。重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)

A．金属球会运动到半圆轨道的另一端

B．由于金属球没有形成闭合电路，所以金属球中不会产生感应电流

C．金属球受到的安培力做负功

D．系统产生的总热量为mgR

解析：选CD　金属球在运动过程中，穿过金属球的磁通量不断变化，在金属球内形成闭合回路，产生涡流，金属球受到的安培力做负功，金属球产生的热量不断地增加，机械能不断地减少，直至金属球停在半圆轨道的最低点，C正确，A、B错误；根据能量守恒定律得系统产生的总热量为mgR，D正确。

[名师微点]

1．自感现象的四大特点

(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化。

(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化。

(3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体。

(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向。

2．自感中“闪亮”与“不闪亮”问题

“STS问题”巧迁移——电磁感应在生活中的应用

电磁感应现象与生活密切相关，高考对这部分的考查更趋向于有关现代气息和STS问题中信息题的考查。命题背景有电磁炉、电子秤、电磁卡、电磁焊接术、卫星悬绳发电、磁悬浮列车等。

1．磁卡的磁条中有用于存储信息的磁极方向不同的磁化区，刷卡器中有检测线圈。当以速度v0刷卡时，在线圈中产生感应电动势，其E­t关系如图所示。如果只将刷卡速度改为，线圈中的E­t关系图可能是(　　)

解析：选D　若将刷卡速度改为，线圈切割磁感线运动时产生的感应电动势大小将会减半，周期将会加倍，故D项正确，其他选项错误。

2．随着科技的不断发展，无线充电已经进入人们的视线。小到手表、手机，大到电脑、电动汽车，都已经实现了无线充电从理论研发到实际应用的转化。如图所示为某品牌的无线充电手机利用电磁感应方式充电的原理图。关于无线充电，下列说法正确的是(　　)

A．无线充电时手机接收线圈部分的工作原理是“电流的磁效应”

B．只有将充电底座接到直流电源上才能对手机进行充电

C．接收线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同

D．只要有无线充电底座，所有手机都可以进行无线充电

解析：选C　无线充电时手机接收线圈部分的工作原理是电磁感应，故A错误；当给充电设备通以恒定直流电时，充电设备不会产生交变磁场，即不能正常充电，故B错误；接收线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同，故C正确；被充电手机内部，应该有一类似金属线圈的部件与手机电池相连，当有交变磁场时，则产生感应电动势，那么普通手机由于没有金属线圈，所以不能够利用无线充电设备进行充电，故D错误。

3．(多选)如图所示，通过水平绝缘传送带输送完全相同的铜线圈，线圈等距离排列，且与传送带以相同的速度匀速运动。为了检测出个别未闭合的不合格线圈，让传送带通过一固定匀强磁场区域，磁场方向垂直于传送带运动方向，根据穿过磁场后线圈间的距离，就能够检测出不合格线圈。通过观察图形，判断下列说法正确的是(　　)

A．若线圈闭合，进入磁场时，线圈中感应电流方向从上向下看为逆时针

B．若线圈闭合，传送带以较大速度匀速运动时，磁场对线圈的作用力增大

C．从图中可以看出，第2个线圈是不合格线圈

D．从图中可以看出，第3个线圈是不合格线圈

解析：选BD　若线圈闭合，进入磁场时，穿过线圈的磁通量增大，由楞次定律可知，线圈中的感应电流的磁场方向向下，所以感应电流的方向从上向下看是顺时针，故A错误；根据法拉第电磁感应定律，传送带以较大速度匀速运动时，线圈中产生的感应电动势较大，则感应电流较大，磁场对线圈的作用力增大，故B正确；由题图知1、2、4、5、6线圈都发生了相对滑动，而第3个线圈没有滑动，则第3个线圈不闭合，没有产生感应电流，故C错误，D正确。