高考物理一轮复习第一章运动的描述匀变速直线运动第3课时自由落体和竖直上抛运动学案新人教版

第3课时　自由落体和竖直上抛运动

考点一　自由落体运动

1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。

2．特点：v0＝0，a＝g。

(1)速度公式：v＝gt。

(2)位移公式：h＝gt2。

(3)速度位移关系式：v2＝2gh。

(4)平均速度公式：＝v＝。

(5)位移差公式：Δh＝gT2。

3．伽利略对自由落体运动的研究

(1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。

(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推，这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。

[典例]　如图所示，频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段。在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置。图中是小球自由下落时的频闪照片，频闪仪每隔0.04 s闪光一次，图中数据为各位置到开始下落时的距离，单位为cm。

(1)根据这张频闪照片，你能获取关于自由落体运动的哪些规律性的东西？

(2)如果要通过这张照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？

[解析]　(1)由题图可知，

①设照片中相邻小球间距为x，则

x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…；

②相邻间位移差Δx＝1.6 cm＝恒量。

(2)要通过这幅频闪照片测出自由落体加速度的方法：

①根据Δx＝aT2，其中T＝0.04 s。

②由h＝gt2，测出下落点与图中某一位置的距离x，确定相应时间t，代入公式求解。

③计算出图中某一位置的瞬时速度(由＝v＝即可求得)，再由v＝gt求解。

④计算出图中各位置对应的瞬时速度(方法同③)，画出其v­t图像，图线的斜率代表g。

[答案]　见解析

自由落体运动的解题技巧

(1)自由落体运动是竖直方向的匀加速直线运动，匀变速运动的规律、公式、推论都可适用。

(2)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题，如从最高点开始连续相等时间内物体的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…。　　

3对于从自由落体运动过程中间某点开始的运动问题，因初速度不为0，公式变成了v＝v0＋gt、h＝v0t＋\f(1,2)gt2、v2－v\o\al(2,0)＝2gh，以及\x\to(v)＝\f(v0＋v,2)，另外比例关系也不能直接应用了。

[集训冲关]

1．伽利略在研究自由落体运动时，设计了如图所示的斜面实验。下列哪些方法是他在这个实验中采用过的(　　)

①测出相同长度的斜面在不同倾角时，物体落到斜面底端的速度v和所用时间t，比较的比值的大小

②用打点计时器打出纸带进行数据分析

③改变斜面倾角，比较各种倾角得到的的比值的大小

④将斜面实验的结果合理“外推”，说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动

A．①②③④  B．①③④

C．①④  D．③④

解析：选D　在伽利略时代，技术不够发达，无法直接测定瞬时速度，所以不可能直接得到速度的变化规律，但是伽利略通过数学运算得出结论：如果物体的初速度为零，而且x与t的平方成正比，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化，故③正确，①错误；在伽利略时代，没有先进的计时仪器，采用的是水钟计时，故②错误；将斜面实验的结果合理“外推”，说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动，故④正确。所以D正确，A、B、C错误。

2.用如图所示的方法可以测出一个人的反应时间。甲同学用手握住直尺顶端刻度为零的地方，乙同学在直尺下端刻度为a的地方做捏住直尺的准备，但手没有碰到直尺，当乙同学看到甲同学放开直尺时，立即捏住直尺，乙同学发现捏住直尺的位置刻度为b。已知重力加速度为g，空气阻力不计，a、b的单位为国际单位制基本单位，则乙同学的反应时间t约等于(　　)

A.    B.

C.    D.

解析：选D　由题意知，在反应时间内直尺自由落下的位移大小为a－b，设乙同学的反应时间为t，空气阻力不计，根据自由落体运动位移公式h＝gt2＝a－b，得t＝ ，D正确，A、B、C错误。

考点二　竖直上抛运动

1．定义：将物体以初速度v0竖直向上抛出后只在重力作用下的运动。

2．规律：取竖直向上为正方向，则初速度为正值，加速度为负值。(为方便计算，本书中g表示重力加速度的大小)

(1)速度公式：v＝v0－gt。

(2)位移公式：h＝v0t－gt2。

(3)速度位移关系式：v2－v＝－2gh。

(4)上升的最大高度：H＝。

(5)上升到最高点所用的时间：t＝。

3．竖直上抛运动的两种解法

(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。

(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，物体正在下降；h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方。

4．竖直上抛运动的三类对称

[考法细研]

考法1　竖直上抛规律的应用

[例1]　 国际泳联世界跳水系列赛富士站，在女子十米台决赛中，中国选手张家齐以390.35分获得第一名，张家齐在距水面10 m高的跳台上的最边缘，她的重心离跳台面的高度大约为1 m，当她腾空跃起后其重心离跳台面最大高度为0.2 m，下降过程中做一个翻掌压水花的动作，这时她的重心离水面大约为1 m。不计空气阻力，试估算从跃起到手触及水面的过程中她完成一系列动作可利用的时间多长？(g取10 m/s2，保留三位有效数字)

[解析]　 张家齐在空中的运动看作竖直上抛运动，取向上为正方向，则开始她的重心升高h＝0.2 m，全程中重心下降H＝10 m，于是有v＝2gh，

－H＝v0t－gt2 ，

即v＝2×10×1，

－10＝v0t－×10t2，

解得t＝1.63 s。

 [答案]　1.63 s

在解竖直上抛运动问题的过程中，当出现位移、速度方向不确定等情况时，注意问题的多解性。　　

考法2　多个物体的竖直上抛运动

[例2]　一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.4 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似视为竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2)(　　)

A．1.6 m　　　　　　　　 B．2.4 m

C．3.2 m  D．4.0 m

[解析]　由题意可知，4个球在空中的位置与1个球抛出后每隔0.4 s对应的位置是相同的，且除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，因此可知球抛出后到达最高点和从最高点落回抛出点的时间均为t＝ s＝0.8 s，故有Hm＝gt2＝3.2 m，C正确。

[答案]　C

在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可将多个物体的运动转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了。　　

 [集训冲关]

1.如图为某一物体做竖直上抛运动的v­t图像，试根据图像判断物体在3 s内的位移大小和路程为(　　)

A．10 m　15 m　　　 B．10 m　25 m

C．15 m　20 m  D．15 m　25 m

解析：选D　由图像可得，物体上升高度为：h上＝×2×20 m＝20 m，物体下落高度为：h下＝×1×10 m＝5 m。因此3 s末物体的位移为：h＝h上－h下＝15 m。物体的路程为：s＝h上＋h下＝25 m。选项D正确。

2．(多选)从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔时间Δt后再以初速度v0从同一地点竖直上抛物体B，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)

A．物体A、B可能在物体A上升过程中相遇

B．物体A、B只能在物体A下降过程中相遇

C．要使物体A、B相遇，需要满足条件Δt＜

D．要使物体A、B相遇，需要满足条件＜Δt＜

解析：选BD　A物体上升时，A的初速度大于B的初速度，且A先抛出，所以A的位移大于B的位移，不可能在A上升的过程中相遇，故A错误；物体A、B相遇有两种可能：①A、B均在下降，A追上B；②A在下降，B在上升，即只能在物体A下降过程中相遇，故B正确；A在空中的总时间为t1＝2×＝，B在空中的总时间为 t2＝，要使A、B能在空中相遇，t1－t2＜Δt＜t1，即得＜Δt＜，故C错误，D正确。

3.如图所示，建筑工人常常徒手抛砖块，地面上的工人以10 m/s的速度竖直向上间隔1 s连续两次抛砖，每次抛一块，楼上的工人在距抛砖点正上方3.75 m处接砖，g取10 m/s2，空气阻力可以忽略，则楼上的工人两次接砖的最长时间间隔为(　　)

A．4 s　　　B．3 s　　　C．2 s　　　D．1 s

解析：选C　研究第一块砖：h＝v0t＋(－g)t2，即3.75 m＝(10t－5t2)m，解得t1＝0.5 s，t2＝1.5 s，分别对应第一块砖上升过程和下降过程，根据题意第二块砖到达抛砖点正上方3.75 m处的时间为t3＝1.5 s，t4＝2.5 s，楼上的工人两次接砖的最长时间间隔为Δt＝t4－t1＝2 s，选项C正确。

考点三　两类匀减速直线运动问题

1．刹车类问题

(1)汽车匀减速到速度为零时，加速度立即消失，汽车停止运动。为方便解题，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。

(2)刹车类问题必须判断汽车减速为零所用的时间。

2．可逆类问题

(1)此类问题中物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，如果全过程加速度大小、方向均不变，则与竖直上抛运动特点类似，求解时既可对全过程列式，也可分段研究，但前后加速度大小不同时必须分段列式。

(2)可逆类问题需要特别注意物理量的符号，一般选初速度的方向为正，则加速度为负值。

[考法细研]

题型1　刹车类问题

[例1]　一辆汽车以某一速度在郊区的水平路面上运动，因前方交通事故紧急刹车而做匀减速直线运动，最后静止，汽车在最初3 s时间内通过的位移与最后3 s时间内通过的位移之比为x1∶x2＝5∶3，则汽车制动的总时间t满足(　　)

A．t>6 s  B．t＝6 s

C．4 s<t<6 s  D．t＝4 s

[解题指导]　先把汽车刹车的匀减速直线运动看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，再由初速度为0的匀加速直线运动的位移公式求出位移，最后列出比例关系求解。

[解析]　设汽车刹车做匀减速直线运动的加速度大小为a，运动总时间为t，把汽车刹车的匀减速直线运动看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，由逆向思维法求解，则汽车刹车的最后3 s时间内通过的位移x2＝a×32(m)＝a(m)，在最初3 s时间内通过的位移x1＝at2－a(t－3)2＝a(6t－9)(m)，又x1∶x2＝5∶3，联立解得t＝4 s，选项A、B、C错误，D正确。

[答案]　D

[例2]　一辆汽车在平直公路上做刹车实验，从t＝0时刻起运动过程的位移与速度的关系为x＝10－0.1v2(各物理量均采用国际单位制)，下列分析正确的是(　　)

A．上述过程的加速度大小为0.2 m/s2

B．刹车过程持续的时间为2 s

C．t＝0时刻的速度为5 m/s

D．刹车过程的位移为5 m

[解析]　根据速度位移关系式可得x＝＝＋，对应表达式x＝10－0.1v2，可得＝10 m，＝－0.1 s2/m，解得加速度a＝－5 m/s2，t＝0时刻的速度v0＝10 m/s，故刹车持续时间为t＝＝2 s，刹车过程中的位移x＝＝10 m，只有B正确。

[答案]　B

解答刹车类问题的基本思路

(1)确定刹车时间。若车辆从刹车到速度减小为零所用时间为T，则刹车时间为T＝(a表示刹车时加速度的大小，v0表示汽车刹车的初速度)。

(2)将题中所给的已知时间t和T比较。若T较大，则在直接利用运动学公式计算时，公式中的运动时间应为t；若t较大，则在利用运动学公式计算时，公式中的运动时间应为T。　　

题型2　可逆类问题

[例3]　图(a)为自动感应门，门框上沿中央安装有传感器，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于某个设定值(可称为水平感应距离)时，中间两扇门分别向左右平移，当人或物体与传感器的距离大于设定值时，门将自动关闭。图(b)为感应门的俯视图，A为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的宽度为d，最大移动速度为v0，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等的加速度匀减速运动，每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。

(1)求门开启时做加速和减速运动的加速度大小；

(2)若人以v0的速度沿图中虚线s走向感应门，要求人到达门框时左右门同时各自移动的距离，那么设定的传感器水平感应距离l应为多少？

(3)若以(2)的感应距离设计感应门，欲搬运宽为的物体(厚度不计)，并使物体中间沿虚线s垂直地匀速通过该门如图(c)所示，物体的移动速度不能超过多少？

[解析]　(1)依题意每扇门开启过程中的速度图像如图所示：

设门全部开启所用的时间为t0，由图可得d＝v0t0

由速度时间关系得：v0＝a·

联立解得：a＝。

(2)要使单扇门打开，需要的时间为t＝t0

人只要在t时间内到达门框处即可符合要求，所以人到门的距离为l＝v0t

联立解得：l＝d。

(3)依题意宽为d的物体运动到门框过程中，每扇门至少要运动d的距离，每扇门的运动各经历两个阶段：开始以加速度a运动s1＝的距离，速度达到v0，所用时间为t1＝，而后又做匀减速运动，设减速时间为t2，门又运动了s2＝d－d＝d的距离

由匀变速运动公式，得：s2＝v0t2－at

解得：t2＝或t2＝(不合题意舍去)

要使每扇门打开d所用的时间为t1＋t2＝

故物体移动的速度不能超过v＝＝v0。

[答案]　(1)　(2)d　(3)v0

解答本题的关键是会根据题意作出每扇门的速度－时间图像，并且知道速度－时间图像的考点，即斜率表示加速度，与时间轴围成的面积表示位移，最后根据题目意思分析门框的运动状态，得出门框的运动性质，由此进行列式求解。　　

 [集训冲关]

1．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是(　　)

A．20 m  B．24 m

C．25 m  D．75 m

解析：选C　设汽车的初速度为v0，加速度为a。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：x2－x1＝aT2

得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2。

根据第1 s内的位移：x1＝v0t＋at2，代入数据得，

9＝v0×1＋×(－2)×12，解得v0＝10 m/s。

汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s。

则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m。故C正确，A、B、D错误。

2．如图所示，长为8 m的长木板Ob倾斜地固定在水平面上，一可视为质点的滑块放在长木板的底端O点。现给滑块沿长木板向上的初速度v0＝12 m/s，经过一段时间刚好滑到长木板的顶端b。已知滑块与长木板ab段的摩擦力可忽略不计，滑块在Oa段的加速度为ab段加速度大小的两倍，滑块由O到a的时间等于滑块由a到b的时间，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)滑块滑到a点时的速度大小；

(2)长木板Oa段的长度。

解析：(1)设滑块在Oa段和ab段的加速度大小分别为a1、a2，在这两段的运动时间均为t。

由运动学公式得：＝2

代入数据解得：va＝4 m/s。

(2)滑块在上滑的过程中，对Oa段有v－v＝2a1xOa

对ab段有v－v＝2a2xab

又因为vb＝0

xOa＋xab＝8 m

代入数据解得：xOa＝6.4 m。

答案：(1)4 m/s　(2)6.4 m