2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第十章第3节电磁感应中的电路和图像问题

第3节　电磁感应中的电路和图像问题

高考对本节内容的考查主要以选择题的形式呈现，难度中等，其中电磁感应中的电路问题涉及的内容除“三定则、两定律”外，通常还包括闭合电路的欧姆定律、电流、电荷量、焦耳定律、电功率等内容；而解答电磁感应中的图像问题时则需要在掌握电磁感应知识的基础上，把分析力学图像、电磁场图像以及电路图像的方法技巧迁移过来应用。

考点一　电磁感应中的电路问题[师生共研类]

1．电磁感应中电路知识的关系图

2．“三步走”分析电路为主的电磁感应问题

[典例]　(多选)如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，导轨与棒单位长度的电阻均为r。t＝0时刻，棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v0沿∠MON的角平分线向右滑动，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。若棒与导轨均足够长，则(　　)

A．流过导体棒的电流I始终为

B．F随时间t的变化关系为F＝t

C．t0时刻导体棒的发热功率为t0

D．撤去F后，导体棒上能产生的焦耳热为mv02

[解析]　导体棒的有效切割长度L＝2v0ttan 30°，感应电动势E＝BLv0，回路的总电阻R＝r，联立可得通过导体棒的电流I＝＝，选项A正确；导体棒受力平衡，则外力F与安培力平衡，即F＝BIL，得F＝t，选项B正确；t0时刻导体棒的电阻为Rx＝2v0t0tan 30°·r，则导体棒的发热功率P棒＝I2Rx＝t0，选项C正确；从撤去F到导体棒停下的过程，根据能量守恒定律有Q棒＋Q轨＝mv02－0，得导体棒上能产生的焦耳热Q棒＝mv02－Q轨<mv02，选项D错误。

[答案]　ABC

[延伸思考]　

(1)试推导出回路中的热功率P随时间变化的关系式，并画出图像。

(2)试推导出回路中产生的焦耳热Q随时间变化的关系式，并画出图像。

提示：(1)回路中热功率P＝I2R，回路中电流I＝为定值，R＝tan 30°＋2v0tr，可得P＝t，图像如图甲所示。

(2)(1)中P­t图线与t轴所围面积表示回路中产生的焦耳热Q，则Q＝Pt＝t2。图像如图乙、丙所示。

[题点全练]

1．[电路的电势差分析]

(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好。导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法正确的是(　　)

A．导体棒ab中电流的方向为由b到a

B．cd两端的电压为1 V

C．de两端的电压为1 V

D．fe两端的电压为1 V

解析：选BD　由右手定则可知ab中电流方向为a→b，A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝×R＝＝1 V，B、D正确，C错误。

2．[含容电路分析]

(多选)在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2。螺线管导线电阻r＝1 Ω，R1＝4 Ω，R2＝5 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化。下列说法正确的是(　　)

A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V

B．闭合S，电路中的电流稳定后电容器上极板带正电

C．电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为5×10－2 W

D．S断开后，通过R2的电荷量为1.8×10－5 C

解析：选AD　由法拉第电磁感应定律可知，螺线管内产生的电动势为E＝nS＝1 500××20×10－4 V＝1.2 V，故A正确；根据楞次定律，当穿过螺线管的磁通量增加时，螺线管下部可以看成电源的正极，则电容器下极板带正电，故B错误；电流稳定后，电流为I＝＝ A＝0.12 A，电阻R1上消耗的功率为P＝I2R1＝0.122×4 W＝5.76×10－2 W，故C错误；开关断开后通过电阻R2的电荷量为Q＝CU＝CIR2＝30×

10－6×0.12×5 C＝1.8×10－5 C，故D正确。

3．[电功率的分析]

如图所示，导体杆OP在作用于OP中点且垂直于OP的力作用下，绕O轴沿半径为r的光滑的半圆形框架在匀强磁场中以一定的角速度转动。磁场的磁感应强度为B，AO间接有电阻R，杆和框架电阻不计，回路中的总电功率为P，则(　　)

A．外力的大小为2Br

B．外力的大小为Br

C．导体杆旋转的角速度为

D．导体杆旋转的角速度为

解析：选C　设导体杆转动的角速度为ω，则导体杆转动切割磁感线产生的感应电动势E＝Br2ω，I＝，根据题述回路中的电功率为P，则P＝EI；设维持导体杆匀速转动的外力为F，则有P＝，v＝rω，联立解得F＝Br，ω＝，选项C正确，A、B、D错误。

考点二　电磁感应中的图像问题[多维探究类]

考法(一)　由“感生”角度衍生的图像问题(直接设问式)

[例1]　(多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是(　　)

A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 A

B．在3～5 s时间内，I的大小越来越小

C．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 C

D．第3 s内，线圈的发热功率最大

[解析]　0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝＝＝0.01 A，A正确；3～5 s时间内电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈的电荷量q＝＝＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误。

[答案]　AC

(1)法拉第电磁感应定律E＝n，常有两种特殊情况，即E＝nS和E＝nB，其中是B­t图像中图线的斜率，若斜率不变则感应电动势是恒定不变的。

(2)感生电动势产生的感应电流方向，一般用楞次定律结合安培定则来判定。

(3)计算电动势时要注意有效面积，求解电压时要分清内外电路。　　

考法(二)　由“感生”角度衍生的图像问题(图像转化式)

[例2]　如图甲所示，正三角形硬导线框abc固定在磁场中，磁场方向与线框平面垂直。图乙表示该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里。在0～4t0时间内，线框ab边受到该磁场对它的安培力F随时间t变化的关系图为(规定垂直ab边向左为安培力的正方向)(　　)

[解析]　0～t0时间内，磁场方向垂直纸面向里，均匀减小，＝，根据楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：流经导线ab的电流I不变，方向从b到a，其受到的安培力方向向左，大小为F＝BIL，均匀减小到零；同理，t0～2t0时间内，磁场方向垂直纸面向外，均匀增大，＝，流经导线ab的电流I不变，方向从b到a，其受到的安培力方向向右，从零开始均匀增大；2t0～3t0时间内，磁场方向垂直纸面向外，＝0，导线ab不受安培力；3t0～3.5t0时间内，磁场方向垂直纸面向外，均匀减小，＝，流经导线ab的电流为2I不变，方向从a到b，其受到的安培力方向向左，大小为F＝2BIL，即均匀减小到零；3.5t0～4t0时间内，磁场方向垂直纸面向里，均匀增加，＝，流经导线ab的电流为2I不变，方向从a到b，其受到的安培力方向向右，大小为F＝2BIL，即从零开始均匀增大，A项正确。

[答案]　A

对于电磁感应图像问题的分析要注意以下三个方面

(1)注意初始时刻的特征，如初始时刻感应电流是否为零，感应电流的方向如何。

(2)注意看电磁感应发生的过程分为几个阶段，这几个阶段是否和图像变化相对应。

(3)注意观察图像的变化趋势，看图像斜率的大小、图像的曲直是否和物理过程对应。　　

考法(三)　由“动生”角度衍生的图像问题

(侧重力学或电学量)

[例3]　如图甲所示，固定的水平金属导轨足够长且电阻不计。两阻值相同的导体棒ab、cd置于导轨上，棒与导轨垂直且始终保持良好接触。整个装置处在与导轨平面垂直向下的匀强磁场B中。现让导体棒ab以如图乙所示的速度向右运动。导体棒cd始终静止在导轨上，以水平向右为正方向，则导体棒cd所受的静摩擦力f随时间变化的图像是选项中的(　　)

[解析]　由右手定则可知ab中感应电流的方向向上，由法拉第电磁感应定律得E＝BLv，由欧姆定律得：I＝。感应电流从上向下流过cd棒，由左手定则可知，产生的安培力向右，大小为F＝BIL＝，对cd进行受力分析可知，cd棒竖直方向受到重力和轨道的支持力；水平方向受到安培力和摩擦力的作用，由共点力的平衡可得，水平方向受到的摩擦力与安培力大小相等、方向相反，即方向向左，大小为f＝F＝，可得大小与速度v成正比，与速度的方向相反，故B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

解决此类问题，求解选择题时，用方向排除法较为简单。判断过程涉及三大定律。

(1)楞次定律判断电流方向。当然，也可以用右手定则。

(2)法拉第电磁感应定律计算电动势，也可以用特例E＝Blv，注意切割导体的有效长度和导体速度的变化。

(3)闭合电路的欧姆定律计算电流，感应电流是由电动势和回路电阻共同决定的。　　

考法(四)　由“动生”角度衍生的图像问题(综合考查)

[例4]　(多选)如图所示，一个边长为L的正方形线圈置于边界水平的匀强磁场上方L处，磁场宽也为L，方向垂直纸面向里，由静止释放线圈且线圈平面始终与磁场方向垂直。如果从线圈的一条边刚进入磁场开始计时，下列关于通过线圈横截面的电荷量q、感应电流i、线圈运动的加速度a、线圈具有的动能Ek随时间变化的图像中，可能正确的是(　　)

[解析]　若线圈进入磁场时受到的安培力等于重力，则线圈匀速进入，感应电流恒定，由q＝It可知，通过线圈横截面的电荷量均匀增大，线圈离开时由楞次定律可知，感应电流方向改变，通过的电荷量均匀减小，A项可能；由于线圈通过磁场时，线圈的宽度与磁场的宽度相等，故始终是一条边做切割磁感线运动，且速度不可能减小到零，所以线圈通过磁场的过程中不可能出现感应电流为零的情况，故B项错误；由于线圈进入磁场时重力也可能大于安培力，因此继续做加速运动，但速度增大安培力也增大，则加速度减小，当安培力增大到等于重力时，加速度变为零，故C项可能；如果线圈刚进入磁场时安培力就大于重力，则线圈做减速运动，速度减小则安培力减小，最后可能达到平衡，速度不变，动能不变，故D项可能。

[答案]　ACD

线圈“坠落”进入磁场时，要正确分析受力，特别是安培力与其他力的比较，像本题中，线圈进入磁场，可能做匀速运动，也可能加速，甚至减速，所以此类问题往往伴随多解。

针对涉及多个物理量的电磁感应图像综合问题优先选择排除法以便快捷解题。

[题点全练]

1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是(　　)

解析：选D　设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i。

综合分析知，只有选项D符合要求。

2．(多选)(2017·全国卷Ⅱ)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图(a)所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图(b)所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是(　　)

A．磁感应强度的大小为0.5 T

B．导线框运动速度的大小为0.5 m/s

C．磁感应强度的方向垂直于纸面向外

D．在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N

解析：选BC　由题图(b)可知，导线框运动的速度大小v＝＝ m/s＝0.5 m/s，B项正确；导线框进入磁场的过程中，cd边切割磁感线，由E＝BLv，得B＝＝ T＝0.2 T，A项错误；由题图(b)可知，导线框进入磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，根据楞次定律可知，磁感应强度方向垂直纸面向外，C项正确；在0.4～0.6 s这段时间内，导线框正在出磁场，回路中的电流大小I＝＝ A＝2 A，则导线框受到的安培力F＝BIL＝0.2×2×0.1 N＝0.04 N，D项错误。

“STS问题”巧迁移——电磁感应现象在生产、生活中的应用

电磁感应现象在日常生活中应用十分广泛，与人类的生活息息相关，比如电磁感应在电子天平中的应用问题在近几年高考中时常出现。

1．(2014·重庆高考)某电子天平原理如图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间的磁感应强度大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应。一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接。当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量。已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g。问：

(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C端还是从D端流出？

(2)供电电流I是从C端还是从D端流入？求重物质量与电流的关系。

(3)若线圈消耗的最大功率为P，该电子天平能称量的最大质量是多少？

解析：(1)线圈向下运动，切割磁感线产生感应电流，由右手定则可知感应电流从C端流出。

(2)由左手定则可知外加电流从D端流入。

设线圈受到的安培力为FA

由FA＝mg和FA＝2nBIL

得m＝I。

(3)设称量最大质量为m0

由m＝I和P＝I02 R

得m0＝ 。

答案：(1)C端　(2)D端　m＝I　(3)

2．(2015·浙江高考)小明同学设计了一个“电磁天平”，如图1所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，两臂平衡。线圈的水平边长L＝0.1 m，竖直边长H＝0.3 m，匝数为N1。线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度B0＝1.0 T，方向垂直线圈平面向里。线圈中通有可在0～2.0 A范围内调节的电流I。挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使天平平衡，测出电流即可测得物体的质量。(重力加速度取g＝10 m/s2)

(1)为使电磁天平的量程达到0.5 kg，线圈的匝数N1至少为多少？

(2)进一步探究电磁感应现象，另选N2＝100匝、形状相同的线圈， 总电阻R＝10 Ω。不接外电流，两臂平衡。如图2所示，保持B0不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度B随时间均匀变大，磁场区域宽度d＝0.1 m。当挂盘中放质量为0.01 kg的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率。

解析：(1)线圈受到安培力F＝N1B0IL①

天平平衡mg＝N1B0IL②

代入数据得N1＝25 匝。③

(2)由电磁感应定律得E＝N2④

即E＝N2Ld⑤

由欧姆定律得I′＝⑥

线圈受到安培力F′＝N2B0I′L⑦

天平平衡m′g＝N22B0·⑧

代入数据可得＝0.1 T/s。⑨

答案：(1)25匝　(2)0.1 T/s

3．(2018·天津高考)真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。

(1)要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由。

(2)求刚接通电源时列车加速度a的大小。

(3)列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？

解析：(1)列车要向右运动，安培力方向应向右。根据左手定则，接通电源后，金属棒中电流方向由a到b、由c到d，故M接电源正极。

(2)金属棒ab、cd中的电流均为

I＝

列车所受安培力之和为

F＝2IlB

根据牛顿第二定律有

F＝ma

解得a＝。

(3)设列车减速时，cd进入磁场后经Δt时间ab恰好进入磁场，此过程中穿过两金属棒与导轨所围回路的磁通量的变化为ΔΦ，平均感应电动势为E1，由法拉第电磁感应定律有

E1＝

其中ΔΦ＝Bl2

由闭合电路欧姆定律得回路中平均电流为

I′＝

则cd受到的平均安培力为

F′＝I′lB

以向右为正方向，可得Δt时间内cd受安培力的冲量为

I冲＝－F′Δt＝－

I冲与时间Δt无关，同理可知，回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值，则回路进出一块有界磁场区域的安培力冲量为

I0＝2I冲

设列车停下来受到的总冲量为I总，由动量定理有

I总＝0－mv0

所以＝

讨论：若恰为整数，设其为n，则需设置n块有界磁场；

若不是整数，设的整数部分为N，则需设置N＋1块有界磁场。

答案：(1)见解析　(2)　(3)见解析