课时作业(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时作业(三十六)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、选择题

1．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为(　　)

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．4  D．5

解析：由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0<y<4，则y＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x＝2时，0<y<2，则y＝1，此时整点有(2,1)；当x＝3时，y无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.

答案：C

2．(2016·北京卷)若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)

A．0  B．3

C．4  D．5

解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点A(1,2)时，z最大，zmax＝4.故选C.

答案：C

3．(2017·银川二模)设z＝x＋y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)

A．－3  B．－2

C．－1  D．0

解析：解法一　作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z＝x＋y经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点B(－6,3)时，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，故选A.

解法二　画出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，易知k≥0，O(0,0)，B(－2k，k)，C(k，k)，分别代入z＝x＋y得z的值为0，－k,2k.故z＝x＋y的最大值为2k，最小值为－k，则2k＝6，k＝3，所以z的最小值为－3.

解法三　先作出所表示的平面区域，再作出直线x＋y＝6，则直线x＋y＝6与直线y＝x的交点为(3,3)，结合题意易知k＝3.故不等式组表示的平面区域的顶点分别为(0,0)，(－6,3)，(3,3)，分别代入z＝x＋y得z的值为0，－3,6，所以z的最小值为－3.

答案：A

4．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a≥  B．0<a≤1

C．1≤a≤  D．0<a≤1或a≥

解析：作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1、l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.

答案：D

5．(2017·福建漳州八校联考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A．－1  B．1

C.  D．2

解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．

当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1，故选B.

答案：B

6．(2016·山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)

A．4  B．9

C．10  D．12

解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，

x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A(3，－1)到原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选C.

答案：C

二、填空题

7．(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．

解析：方法一　作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.

方法二　因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.

答案：－5

8．(2017·山东三校联考)已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，求a的取值范围为________．

解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－<－a<0，即0<a<.

答案：(0，)

9．(2017·吉安质检)若实数x，y满足，求z＝的最小值为________．

解析：法一　作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝＝1＋，设k＝，则k的几何意义为区域内的点与定点D(2，－2)连线的斜率，数形结合可知，直线AD的斜率最小，由，得，即A(1,2)，此时直线AD的斜率kAD＝＝－4，则zmin＝1＋kAD＝1－4＝－3.

法二　易知平面区域的顶点坐标分别为(0,1)，(1,2)，(－1,2)，分别代入z＝得z的值为－，－3，－，故z＝的最小值为－3.

答案：－3

三、解答题

10．已知关于x，y的二元一次不等式组求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．

解析：作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．

由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，

由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距 z－1最小，即z最小，

解方程组得A(－2，－3)，

∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.

当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，

即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.

∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.

11．(1)(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件求的最大值；

(2)已知实数x，y满足不等式组求z＝x2＋y2－10y＋25的最大值．

解析：(1)作出可行域如图中阴影部分所示．由图可知，在点A(1,3)处，取得最大值3.

(2)作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义表示可行域中的点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方．结合图象易知点C到点M的距离最大，

由得C(7,9)，则zmax＝(7－0)2＋(9－5)2＝65.

12．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克，甲种饮料每杯能获利润0.7元，乙种饮料每杯能获利润1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

解析：设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元．

由条件知：z＝0.7x＋1.2y，变量x、y满足

作出不等式组所表示的可行域如图所示．

作直线l：0.7x＋1.2y＝0，

把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，

z＝0.7x＋1.2y取最大值．

由方程组

得A点坐标(200,240)．

即应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．