高考数学一轮复习课时作业：37 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 Word版含解析

这是一份高考数学一轮复习课时作业：37 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．(2019·山西临汾一中月考)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( C )
解析：由y(x＋y－2)≥0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥0，,x＋y－2≥0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤0，,x＋y－2≤0，))所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．
2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( A )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)·(a－24)<0，所以－73．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(,x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( C )
A．6 B．19
C．21 D．45
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－eq \f(3,5)x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝1，,x＋y＝5))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.
4．(2019·山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0))所表示的区域上一动点，已知点A(－1，2)，则直线AM斜率的最小值为( B )
A．－eq \f(2,3) B．－2 C．0 D.eq \f(4,5)
解析：作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0))对应的平面区域如图四边形OBCD及其内部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)．
点A(－1,2)，当M位于O时，AM的斜率最小，此时AM的斜率k＝eq \f(2－0,－1－0)＝－2，故选B.
5．(2019·洛阳市高三统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是( C )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析：作出约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝eq \f(1,2)×a×2a＝a2>1，∴16．(2019·福州市测试)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥1，,x＋2y≤2))的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；
p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；
p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥eq \f(2,3)；
p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中的真命题是( A )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝1，,x＋2y＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3)，))所以M(eq \f(4,3)，eq \f(1,3))．
由图可知，当直线z＝x－2y过点M(eq \f(4,3)，eq \f(1,3))处时，z取得最小值，且zmin＝eq \f(4,3)－2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，所以真命题是p2，p3，故选A.
7．若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为( D )
A．1 B．2
C．eq \f(5,2) D．3
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z＝2x＋y在点A处取得最小值，且由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,2x－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))∴A(1,2)．
又由题意可知A在直线y＝－x＋b上，∴2＝－1＋b，解得b＝3，故选D.
二、填空题
8．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))则z＝x＋eq \f(1,3)y的最大值是3.
解析：解法1：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋eq \f(1,3)y取得最大值，即zmax＝2＋eq \f(1,3)×3＝3.
解法2：易知z＝x＋eq \f(1,3)y在可行域的顶点处取得最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))代入z＝x＋eq \f(1,3)y，可得z＝－eq \f(5,3)；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－7，))代入z＝x＋eq \f(1,3)y，可得z＝－eq \f(1,3)；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x－2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))代入z＝x＋eq \f(1,3)y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.
9．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的取值范围是[0,2]．
解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．
由z＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，得y＝x＋z.由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的取值范围为[0,2]．
10．(2019·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,x＋2y－4≥0，,2x＋y－5≤0，))且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝2.
解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(3a－2＋z,2)，作出直线y＝－eq \f(3,2)x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.
11．已知约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2≥0，,3x－2y－3≤0，,x＋y－1≥0))表示的平面区域为D，若存在点P(x，y)∈D，使x2＋y2≥m成立，则实数m的最大值为( A )
A.eq \f(181,16) B．1
C.eq \f(9,13) D.eq \f(1,2)
解析：如图，作出可行域D，要存在点P(x，y)∈D，使x2＋y2≥m成立，只需m≤(x2＋y2)max.而x2＋y2表示可行域D中的点与原点间距离的平方，由图可知，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(9,4)))与原点间距离的平方最大，所以(x2＋y2)max＝eq \f(181,16)，即m≤eq \f(181,16)，所以m的最大值为eq \f(181,16)，故选A.
12．(2019·福州四校联考)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－3≤0，,2x－2y－1≤0，,x－a≥0，))其中a>0，若eq \f(x－y,x＋y)的最大值为2，则a的值为( C )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(5,9)
解析：
设z＝eq \f(x－y,x＋y)，则y＝eq \f(1－z,1＋z)x，当z＝2时，y＝－eq \f(1,3)x，作出x，y满足的约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－3≤0，,2x－2y－1≤0，,x－a≥0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－eq \f(1,3)x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为(eq \f(3,8)，－eq \f(1,8))，当直线x＝a过点(eq \f(3,8)，－eq \f(1,8))时a＝eq \f(3,8)，又此时直线y＝eq \f(1－z,1＋z)x的斜率eq \f(1－z,1＋z)的最小值为－eq \f(1,3)，即－1＋eq \f(2,z＋1)的最小值为－eq \f(1,3)，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为eq \f(3,8)，故选C.
13．(2019·山西太原五中高三第一次模拟)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,x－5y＋10≤0，,x＋y－8≤0))所表示的平面区域内存在点(x0，y0)，使x0＋ay0＋2≤0成立，则实数a的取值范围是(－∞，－1]．
解析：由不等式组所表示的平面区域(图中阴影部分)可得y>0，由题意得a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x＋2,y)))max，eq \f(y,x＋2)表示(－2,0)与平面区域内(x，y)两点连线的斜率，可得eq \f(3,7)≤eq \f(y,x＋2)≤1，所以－eq \f(7,3)≤－eq \f(x＋2,y)≤－1，所以a≤－1.
eq \a\vs4\al(尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用)
14．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x＋2，,x＋y≤6，,x≥1，))则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：画出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x＋2，,x＋y≤6，,x≥1))表示的可行域，如图阴影部分，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]．∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线y＝2x－4＋z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，最小值为4－2×2＋4＝4，故选C.
15．(2019·洛阳市联考)已知x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥x，,3x＋4y≤12，))则eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是[3,9]．
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，eq \f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋2×eq \f(y＋1,x＋1)，eq \f(y＋1,x＋1)表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，eq \f(x＋2y＋3,x＋1)取得最大值，且(eq \f(x＋2y＋3,x＋1))max＝9.
因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，eq \f(x＋2y＋3,x＋1)取得最小值，且(eq \f(x＋2y＋3,x＋1))min＝3.所以eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是[3,9]．