高中数学高考课后限时集训38 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 作业

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 建议用时：45分钟 一、选择题 1．不等式x2－y2≤0表示的平面区域(用阴影部分表示)应是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D D　[x2－y2≤0⇔(x＋y)(x－y)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≥0))结合图形可知选D.] 2．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－y的取值范围是(　　) A．[－3,0]　　　　　 B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3. 所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]． 故选B.] 3．若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是(　　) A．4　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．12 C　[作出不等式组表示的 平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10. 故选C.] 4．若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0，,3x－2y＋2≥0，))且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C．1 D．2 D　[由选项得m＞0，作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0m＞0，,3x－2y＋2≥0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＋2＝0，,3x－y＝2，))得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.] 5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　) A.12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点A处取到最大值． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2,3)． 则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．] 二、填空题 6．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))则z＝x＋eq \f(1,3)y的最大值是 ． 3　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋eq \f(1,3)y取得最大值，即zmax＝2＋eq \f(1,3)×3＝3. ] 7．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x＞－1，))则(x－2)2＋y2的最小值为 ． 5　[作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示， 设z＝(x－2)2＋y2， 则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方， 由图知C，D间的距离最小，此时z最小． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝1，,x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))即C(0,1)， 此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.] 8．已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))则目标函数z＝eq \f(y＋2,x－5)的最大值为 ． －eq \f(1,2)　[作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0,1)，B(1,0)，C(3,4)． 目标函数z＝eq \f(y＋2,x－5)表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内． 显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为eq \f(0＋2,1－5)＝－eq \f(1,2).] 三、解答题 9．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)． (1)写出表示区域D的不等式组； (2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围． [解]　(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.)) (2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)． 10．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.)) (1)求目标函数z＝eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)的最值； (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． [解]　(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直线eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)＝0，过A(3,4)时z取最小值－2，过C(1,0)时z取最大值1. 所以z的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－eq \f(a,2)＜2， 解得－4＜a＜2. 故a的取值范围是(－4,2)． 1．已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y≥0，,y－x＋1≤0，,y－2x＋4≥0.))若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为(　　) A．2 B．1 C．1或2 D．－1 B　[不等式组表示的平面区域如图所示： 由z＝y－ax得y＝ax＋z，当a＜0时，不合题意． 当a＞0时，直线y＝ax＋z与AC重合时，z取得最大值的最优解有无数个，则a＝1，故选B.] 2．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq \f(4,3)，则m的值为(　　) A．－3 B．1 C.eq \f(4,3) D．3 B　[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，Ceq \f(2－4m,3)，eq \f(2＋2m,3)，D(－2m,0)． S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝eq \f(1,2)|AD|·|yB－yC|＝eq \f(1,2)(2＋2m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋m－\f(2＋2m,3)))＝(1＋m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m－2,3)))＝eq \f(4,3)，解得m＝1或m＝－3(舍去)．] 3．(2019·南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \o(OM,\s\up12(→))的取值范围是 ． [0,2]　[作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))表示的平面区域如图中阴影部分所示， 因为点A(－1,1)，点M(x，y)，所以eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \o(OM,\s\up12(→))＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \o(OM,\s\up12(→))的取值范围是[0,2]．] 4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． [解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.)) 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分． 图1 (2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y. 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)，它的图象是斜率为－eq \f(2,3)，随z变化的一组平行直线，eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,3)取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,3)最大，即z最大． 图2 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点M的坐标为(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． 1．已知不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0))表示的平面区域为D，若对任意的(x，y)∈D，不等式t－4＜x－2y＋6＜t＋4恒成立，则实数t的取值范围是 ． (3,5)　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． 可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)，设z＝x－2y＋6，平移直线y＝eq \f(1,2)x，可知z＝x－2y＋6在A(3,4)处取得最小值1，在C(1,0)处取得最大值7，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t－4＜1，,t＋4＞7，))解得3＜t＜5，故实数t的取值范围是(3,5)．] 2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求b＋2c的取值范围． [解]　由函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2， 且0＜x1＜1＜x2＜2， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝c＞0，,f1＝b＋c＋1＜0，,f2＝2b＋c＋4＞0，))设z＝b＋2c， 作出约束条件所表示的平面区域(如图阴影部分，不含边界)，如图所示， 由图象可知，当z＝b＋2c经过点A时，目标函数z＝b＋2c取得最大值， 当z＝b＋2c经过点B时，目标函数z＝b＋2c取得最小值， 又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＋c＋1＝0，,2b＋c＋4＝0，))解得A(－3,2)， 此时zmax＝－3＋2×2＝1， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝0，,2b＋c＋4＝0，))解得B(－2,0)， 此时zmin＝－2＋2×0＝－2， 所以b＋2c的取值范围是(－2,1)． 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128　　原料 肥料　　ABC甲483乙5510