课时作业(六十) 古典概型 练习

课时作业(六十)　古典概型

一、选择题

1．下列试验中，是古典概型的个数为(　　)

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，

所以不是古典概型．

②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．

③符合古典概型的特点，是古典概型问题．

答案：B

2．(2017·江西高安中学等九校联考，4)甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两个参加同一个小组的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：甲、乙两人参加三个不同的学习小组共有9个基本事件，其中两人参加同一个小组有3个基本事件，因此所求概率为＝，故选A.

答案：A

3．(2017·广州五校联考一)已知x，y∈{1,2,3,4,5,6}，且x＋y＝7，则y≥的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意得基本事件空间中的元素有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，满足y≥的有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，共4个，故所求概率为＝，故选B.

答案：B

4．(2017·惠州二模)已知某校有2名男生、3名女生参加演讲比赛，从这5名学生中任选2名(每名学生被选中的机会均等)，则这2名学生都是男生或都是女生的概率为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：设2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从这5名学生中任选2名的情况有：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名学生刚好是一男一女的有：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，故所求概率P＝1－＝.故选A.

答案：A

5．(2017·青岛一模)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4下方的概率为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：由题意，连续掷两次骰子共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P(m，n)落在x＋y＝4下方”包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件，故所求概率P＝＝.

答案：C

6．(2017·宿州一模)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：解法一：根据题意，数对(a，b)共有15种不同的取法，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，若方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝(2a)2－4b2>0，即a>b，此时满足条件的数对(a，b)分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共9种，则方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根的概率P＝＝，故选C.

解法二：根据题意，数对(a，b)共有15种不同的取法，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，若方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝(2a)2－4b2>0，即a>b，易知满足a≤b的数对(a，b)分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6种，则方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根的概率P＝1－＝＝，故选C.

答案：C

二、填空题

7．(2016·四川卷，13)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．

解析：所有的基本事件有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12个．记“logab为整数”为事件A，

则事件A包含的基本事件有(2,8)，(3,9)，共2个．

∴P(A)＝＝.

答案：

8．(2017·江西九校联考一)某市图书馆要举办读书活动周，需要从本市A大学选2名志愿者，B大学选4名志愿者参与活动周的服务工作，若从这6人中随机抽取2人，则至少有1名A大学志愿者的概率是________．

解析：解法一：记2名来自A大学的志愿者分别为A1，A2,4名来自B大学的志愿者分别为B1，B2，B3，B4，从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有1名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率P＝＝.

解法二：记2名来自A大学的志愿者分别为A1，A2,4名来自B大学的志愿者分别为B1，B2，B3，B4，从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中2名志愿者均来自B大学的事件有6种，分别是(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)．故所求概率P＝1－＝.

答案：

9．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．

解析：易知过点(0,0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝＝.

答案：

三、解答题

10．(2017·怀化二模)设a∈{1,2,3}，b∈，求函数y＝log是减函数的概率．

解析：∵f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y＝log是减函数，

∴>1，

∵a∈{1,2,3}，b∈，

则＝，，，，2,3,4,6，共8个值，

其中满足>1的有，2,3,4,6，共5个值，

∴函数y＝log是减函数的概率为.

11．(2017·陕西西安八校联考)某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查，已知A，B，C三个行政区中分别有12,18,6个社区．

(1)求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；

(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率．

解析：(1)社区总数为12＋18＋6＝36个，样本容量与总体的个体数之比为＝.

所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.

(2)设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，c为在C行政区中抽得的1个社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，c)，(B2，B3)，(B2，c)，(B3，c)，共15种．

设事件“抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，共9种．

所以P(X)＝＝.

12．(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．

解析：(1)所有可能的摸出结果是：

{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}，共12种．

(2)不正确．理由如下：

由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．