高考复习《古典概型》课时作业12.2

这是一份高考复习《古典概型》课时作业12.2，共7页。

1．(2020·西安模拟)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
B 基本事件总数n＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p＝eq \f(m,n)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,30)
C 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为eq \f(1,15)，故选C.
3．(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(4,9)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
C 由题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝eq \f(5×4,Ceq \\al(2,9))＝eq \f(5,9).故选C.
4．(2020·梅州一模)甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，则选出的2名教师来自同一学校的概率为( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
D 从6名教师中任选2名教师的种数为Ceq \\al(2,6)＝15，其中来自同一学校的种数为2Ceq \\al(2,3)＝2×3＝6，故所求事件的概率P＝eq \f(2,5)，故选D.
5．(2020·深圳一模)一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
B 因为从四个球中随机选三个共有Ceq \\al(3,4)＝4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为(2，3，4)，(2，4，6)，共2种不同的选法，所以根据古典概型概率公式，得P＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故选B.
6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
C 取两个点的所有情况为Ceq \\al(2,5)＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).故选C.
7．(2020·河北七校联考)若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的焦距为整数的概率为________．
解析 ∵m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的焦距为整数的概率p＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
8．(2020·唐山模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．
解析 ∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，
∴a2只能是3，4，5中的一个．
(1)若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2，这时共有Aeq \\al(2,2)＝2(个)符合条件的五位数．
(2)若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1，2，3，共有Aeq \\al(3,3)＝6(个)符合条件的五位数．
(3)若a2＝5，则a4＝3或4，此时分别与(1)(2)中的个数相同．
∴满足条件的五位数有2(Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(3,3))＝16(个)．
又由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数有Aeq \\al(5,5)＝120(个)，故所求概率为eq \f(16,120)＝eq \f(2,15).
答案 eq \f(2,15)
9．(2020·湖南六校联考)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________．
解析 袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率P＝eq \f(m,n)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3).
答案 eq \f(1,3)
10．(2020·山西太原一模)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．
解析 由题意得共有(1，1，5)，(1，5，1)，(5，1，1)，(1，2，4)，(1，4，2)，(2，1，4)，(2，4，1)，(4，1，2)，(4，2，1)，(1，3，3)，(3，1，3)，(3，3，1)，(2，2，3)，(2，3，2)，(3，2，2)这15种可能，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5，1，1)，(4，1，2)，(4，2，1)，(3，1，3)，(3，3，1)，(3，2，2)这6种，所以所求概率为eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
答案 eq \f(2,5)
11．设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解 (1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的情况共36种．
因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3，1)，(6，2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为eq \f(2,36)＝eq \f(1,18).
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，其概率为eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为eq \f(1,6).
12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解 (1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq \f(6,300)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×eq \f(1,50)＝1，150×eq \f(1,50)＝3，100×eq \f(1,50)＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝eq \f(4,15)，
即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
[技能过关提升]
13．(多填题)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是________；“至少有2枚反面朝上”的概率是________．
解析 列举基本事件如下：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，“恰好3枚正面都朝上”包含1个基本事件，概率p1＝eq \f(1,8).“至少有2枚反面朝上”包含4个基本事件，概率p2＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,8) eq \f(1,2)
14．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
解析 十个数中任取七个不同的数共有Ceq \\al(7,10)种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有Ceq \\al(3,6)种情况，于是所求概率P＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(7,10))＝eq \f(1,6).
答案 eq \f(1,6)
15．(2016·山东卷)某儿童乐园在
“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．
所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).
事件C包含的基本事件共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．
所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
16．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解 (1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B)＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9).
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
地区
A
B
C
数量
50
150
100