数学九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试同步训练题

这是一份数学九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试同步训练题，共10页。

类型之一 圆的有关性质





1．[2017·宜昌] 如图2－X－1，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )


A．AB＝AD B．BC＝CD


C.eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵)) D．∠BCA＝∠ACD





图2－X－1





图2－X－2








.如图2－X－2，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC＝26°，则∠BOC＝________°.


3．如图2－X－3，在⊙O中，弦AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )


A．80° B．50° C．40° D．20°





图2－X－3





图2－X－4











类型之二 切线的性质与判定


4．如图2－X－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：


①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是( )


A．3 B．2 C．1 D．0


5．如图2－X－5，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C＝________°.





图2－X－5





图2－X－6








.如图2－X－6，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为________．





7．[2017·宿迁改编] 如图2－X－7，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.


(1)求证：AP＝AB；


(2)若OB＝4，OP＝2，求线段AB的长．





图2－X－7























8．已知在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.


(1)如图2－X－8①，若∠BAC＝23°，求∠AMB的度数；


(2)如图2－X－8②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D.若BD＝MA，求∠AMB的度数．





图2－X－8





























类型之三 圆中的有关计算





图2－X－9


9．[2016·南京二模] 如图2－X－9，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是( )


A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4


10．如图2－X－10，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)．若∠BAC＝120°，BC＝eq \r(3)，则这个圆锥底面圆的半径是( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)





图2－X－10





图2－X－11








11．如图2－X－11，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )


A．3 eq \r(3) B．4 eq \r(3) C．5 eq \r(3) D．6 eq \r(3)


12．[2017·莱芜] 圆锥的底面周长为eq \f(2π,3)，母线长为2，P是母线OA的中点，一根细绳(无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为________．


13．如图2－X－12，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°.


(1)求证：DP是⊙O的切线；


(2)若⊙O的半径为3 cm，求图中阴影部分的面积．





图2－X－12














类型之四 圆中的分类讨论题


14．若一个点到圆上的点的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆的半径是( )


A．5 cm或11 cm B．2.5 cm


C．5.5 cm D．2.5 cm或5.5 cm


15．在半径为1的⊙O中，若弦AB，AC的长分别是eq \r(2)，eq \r(3)，则∠BAC的度数为( )


A．15° B．15°或75°


C．75° D．15°或65°


16．已知△ABC内接于半径是6 cm的⊙O，弦AB＝6 eq \r(3) cm，则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数是( )


A．30° B．60°


C．60°或120° D．30°或150°


类型之五 圆中的动点问题





图2－X－13


17．如图2－X－13，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 eq \r(2)，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．


18．如图2－X－14，已知⊙O的直径AB＝12 cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.


(1)求证：∠PCA＝∠B；


(2)已知∠P＝40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合)，当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．





图2－X－14











详解详析





1．B [解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．


2．52 [解析] ∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，


∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，


∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°.


3．A [解析] ∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.故选A.


4．A [解析] ∵AB是⊙O的直径，


∴∠ADB＝90°.


∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.


连接OD，如图，∵OD＝OB，





∴△OBD是等边三角形，


∴∠ODB＝∠DOB＝60°.


∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥DC，


∴∠BDC＝∠C＝30°，


∴BD＝BC，∠C＝∠A，


∴AD＝CD.


∵在Rt△ADB中，∠A＝30°，∴BD＝eq \f(1,2)AB，


即AB＝2BD，∴AB＝2BC.


因此结论①②③都正确．故选A.


5． 20 [解析] 如图，连接OD.





∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.


∵∠COD＝2∠BAD＝2×35°＝70°，


∴∠C＝90°－∠COD＝20°.


6．6.25 [解析] 如图，连接OE，并反向延长OE交AD于点F，连接OA.





∵BC是⊙O的切线，


∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠C＝∠D＝90°，


∴四边形CDFE是矩形，


∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，


∴AF＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×12＝6.


设⊙O的半径为x，则OF＝EF－OE＝8－x.


在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，


则(8－x)2＋36＝x2，


解得x＝6.25，


∴⊙O的半径为6.25.


故答案为6.25.


7．解：(1)证明：∵AB与⊙O相切于点B，


∴∠ABO＝90°，


∴∠ABP＋∠OBC＝90°.


∵OC⊥OA，∴∠OPC＋∠C＝90°.


∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，


∴∠ABP＝∠OPC.


又∵∠APB＝∠OPC，


∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB.


(2)设AP＝AB＝x，则OA＝2＋x.


在Rt△AOB中，AB2＋OB2＝OA2，


∴x2＋42＝(x＋2)2，


解得x＝3，即线段AB的长是3.


8．[解析] (1)根据切线的性质得到AM⊥AC，可得出∠MAC为直角，可求∠MAB的度数．又由切线长定理得到MA＝MB，进而求得∠AMB的度数；


(2)连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点，根据等弧对等弦可得出AB＝AD.而AM⊥AC，BD⊥AC，则BD∥AM.又BD＝AM，可知四边形ADBM为平行四边形，再由邻边MA＝MB，得到四边形ADBM为菱形．根据菱形的邻边相等可得出BD＝AD，进而得到AB＝AD＝BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB＝∠D＝60°.


解：(1)∵MA切⊙O于点A，


∴∠MAC＝90°.


又∵∠BAC＝23°，


∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝67°.


∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，


∴MA＝MB，


∴∠MBA＝∠MAB＝67°，


∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝46°.


(2)连接AD，AB.


∵MA⊥AC，BD⊥AC，


∴BD∥MA.


又∵BD＝MA，


∴四边形MADB是平行四边形．


又∵MA＝MB，


∴▱MADB是菱形，


∴AD＝BD.


∵AC为⊙O的直径，AC⊥BD，


∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，


∴AB＝AD，


∴AB＝AD＝BD，


∴△ABD是等边三角形，


∴∠D＝60°，


∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.


9.B [解析] ∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，


∴S阴影＝S正方形－S圆＝1－0.25π≈0.21.


10．A 11.B


12．1


13．解：(1)证明：连接OD.


∵∠ACD＝60°，


∴由圆周角定理，得∠AOD＝2∠ACD＝120°，


∴∠DOP＝180°－120°＝60°.


∵∠APD＝30°，


∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°，


∴OD⊥DP.


∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线．


(2)∵∠APD＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3 cm，


∴OP＝6 cm，由勾股定理，得DP＝3 eq \r(3) cm，


∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP－S扇形ODB＝eq \f(1,2)×3×3 eq \r(3)－eq \f(60π×32,360)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9 \r(3),2)－\f(3,2)π))cm2.


14．D [解析] 当点P在圆内时，圆的直径是11 cm，因而半径是5.5 cm；


当点P在圆外时，圆的直径是5 cm，因而半径是2.5 cm.故选D.


15．B [解析] 如图①，分别连接OA，OB，OC.过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.


则AD＝eq \f(\r(2),2)，AE＝eq \f(\r(3),2).


∵OA＝1，∴OD＝eq \f(\r(2),2)＝AD，OE＝eq \f(1,2)，


∴∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，


∴∠BAC＝75°.





如图②，同理可得∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，


∴∠BAC＝45°－30°＝15°，故选B.


16．C [解析] 连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，易得OD＝3，∴∠OAB＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.


当点C在劣弧AB上时，如图①所示，∠ACB＝eq \f(1,2)×(360°－120°)＝120°；


当点C在优弧ACB上时，如图②所示，∠ACB＝eq \f(1,2)∠AOB＝60°.故选C.





17．2 eq \r(2) [解析] 如图，连接OP，OQ.





∵PQ是⊙O的切线，


∴OQ⊥PQ.


根据勾股定理知PQ2＝OP2－OQ2.


当OP⊥AB时，线段OP最短，此时线段PQ最短．


∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 eq \r(2)，


∴AB＝6，∴OP＝3，


∴PQ＝eq \r(OP2－OQ2)＝2 eq \r(2).


18．[全品导学号：54602137]解：(1)证明：如图，连接OC.





∵PC是⊙O的切线，


∴∠PCO＝90°，


∴∠1＋∠PCA＝90°.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，∴∠2＋∠B＝90°.


∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，


∴∠PCA＝∠B.


(2)∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，∴∠AOC＝50°.


∵AB＝12，∴OA＝6.


当点Q在AB下方，且∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，


此时点Q所经过的弧长＝eq \f(50×π×6,180)＝eq \f(5π,3)(cm)；


当点Q在AB下方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，


此时点Q所经过的弧长＝eq \f(130×π×6,180)＝eq \f(13π,3)(cm)；


当点Q在AB上方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°，即∠AOQ＝230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，


此时点Q所经过的弧长＝eq \f(230×π×6,180)＝eq \f(23π,3)(cm)．


∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为eq \f(5π,3) cm或eq \f(13π,3) cm或eq \f(23π,3) cm.